La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión.
Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a convexo o viceversa.
En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula, f’(a) = 0, es un punto de inflexión de tangente horizontal.
Para que una función f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (a, f(a)) es condición necesaria que la segunda derivada, si esta existe, sea nula en dicho punto (f’’(a) = 0).
Esta condición es necesaria, pero no suficiente. Puede que sea f’’(a) = 0 y no haber punto de inflexión en a. Pero, por el contrario, si fuese f’’(a) ≠ 0, podemos afirmar que no hay un punto de inflexión en f(a).
Este sería el caso de la función f(x) = 2x4. En ella, la segunda derivada f’’(x) = 24x2. Para x = 0, f’’(0) = 0 y, sin embargo, el punto (0, f(0)), es decir, el punto (0, 0) no es un punto de inflexión, tal y como se ve en esta imagen y se desarrollará en el ejercicio 2:
Tenemos dos criterios para averiguar si un punto x = a de una función, en donde se verifique que f’’(a) = 0, se trata de un punto de inflexión:
Criterios
Criterio de la segunda derivada
Si f’’(a) = 0, estudiaremos el signo de la segunda derivada en el entorno de x = a.
Si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, son positivos a la izquierda y negativos a la derecha, existe un punto de inflexión convexo-cóncavo.
Por otro lado, si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, son negativos a la izquierda y positivos a la derecha, existe un punto de inflexión cóncavo-convexo.
Por el ccontrario, si los valores de la segunda derivada f’’(x), para x = a, tienen el mismo signo a la izquierda y a la derecha, no hay un punto de inflexión en f(a).
Criterio de la tercera derivada
Si se verifica que en un punto de una función, su segunda derivada es nula (f’’(a) = 0) y existe la tercera derivada en ese punto no nula (f’’’(a) ≠ 0), entonces existe el punto de inflexión en f(a).
En el caso de que la tercera derivada siga siendo nula en ese punto, recurriremos a derivadas sucesivas, hasta llegar a una derivada de orden n en que fn)(a) ≠ 0.
Entonces, si n es impar, habrá un punto de inflexión en (a, f(a)), pero si n fuese par, f(a) no sería un punto de inflexión, sería un máximo o mínimo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Encontrar, si los hubiere, los puntos de inflexión de la función:
Hallaremos la derivada segunda:
Igualaremos la función a cero. Simplificaremos y hallaremos las raíces de esta función cuadrática:
Empleando el criterio de la segunda derivada arriba descrito, estudiaremos el signo que toma la segunda derivada en puntos del entorno de las raíces halladas. Empezamos por la primera raíz:
Hay cambio de signo: positivo a la izquierda y negativo a la derecha. Existe un punto de inflexión convexo-cóncavo en el punto:
Ahora estudiamos el entorno de la segunda raíz:
Hay cambio de signo: negativo a la izquierda y positivo a la derecha. Existe un punto de inflexión cóncavo-convexo en el punto:
Se deduce que la función tiene dos puntos de inflexión. Como se ve en la figura:
Ejercicio 2
Encontrar, si los hubiere, los puntos de inflexión de la función:
Hallaremos la derivada segunda:
Igualaremos la función a cero. La función tiene una sola raíz y esta es nula:
Como veremos que la tercera derivada sigue siendo nula para x = 0, seguiremos derivando hasta encontrar una derivada de orden superior que no se anule:
Esta última derivada, la cuarta, es par, por lo que la función no tiene puntos de inflexión. En x = 0, como el valor de la derivada cuarta es mayor que cero, será un mínimo. Se ve en la figura: