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Cargando...Las derivadas logarítmicas de una función logarítmica en su expresión simple, (por defecto, logaritmo neperiano), es:
La función logarítmica de x es derivable en los reales positivos. Su derivada es igual a la unidad partido por x.
Estas son las gráficas de la función logarítmica y de su función derivada:
Si se trata de la derivada de un logaritmo en base a de x, pueden ser cualquiera de estas dos expresiones:
Vista la derivada de la función logarítmica elemental, la derivada de una función compuesta por el logaritmo de una función derivable se obtendrá aplicando la regla de la cadena:
La derivada del logaritmo neperiano de una función derivable f(x) es otra función resultado de dividir la derivada de aquella función por la función f(x).
Análogamente, siendo f(x) una función derivable, la derivada del logaritmo en base a de f(x) es igual a:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada logarítmica de f(x) = ln(2x4):
Ejercicio 2
Obtener la derivada de esta función compuesta con este logaritmo en base 3:
Demostración de la derivada logarítmica
Para demostrar la fórmula de la derivada logarítmica, recurriremos a la definición, mediante un límite, de la derivada:
Como aquí f(x) es la función ln(x):
Aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas, en concreto la propiedad, a la inversa, de la división y la de la potencia
Siguiendo con las propiedades de las funciones logarítmicas, ahora la propiedad de la función logarítmica (el límite del logaritmo es el logaritmo del límite):
Hacemos una transformación en el paréntesis de fracciones, insertamos en el exponente x / x = 1, que no altera el resultado y aplicamos las propiedades de la potencia de potencia:
Si hacemos la transformación o cambio de variable x / Δx = n nos encontramos con una de las expresiones del número irracional e.
Como por las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia y, además, como el logaritmo natural del número e es la unidad, queda demostrada la derivada del logaritmo buscada:
