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Derivadas logarítmicas

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Las derivadas logarítmicas de una función logarítmica en su expresión simple, (por defecto, logaritmo neperiano), es:

Fórmula de las derivadas logarítmicas

La función logarítmica de x es derivable en los reales positivos. Su derivada es igual a la unidad partido por x.

Estas son las gráficas de la función logarítmica y de su función derivada:

Gráfica de la derivada logarítmica

Si se trata de la derivada de un logaritmo en base a de x, pueden ser cualquiera de estas dos expresiones:

Expresiones de las derivadas logarítmicas

Vista la derivada de la función logarítmica elemental, la derivada de una función compuesta por el logaritmo de una función derivable se obtendrá aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de las derivada logarítmica compuesta

La derivada del logaritmo neperiano de una función derivable f(x) es otra función resultado de dividir la derivada de aquella función por la función f(x).

Análogamente, siendo f(x) una función derivable, la derivada del logaritmo en base a de f(x) es igual a:

Fórmula de la derivada del logaritmo en base a

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada logarítmica de f(x) = ln(2x4):

Enunciado del ejercicio 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función compuesta con este logaritmo en base 3:

Enunciado del ejercicio 2

Demostración de la derivada logarítmica

Para demostrar la fórmula de la derivada logarítmica, recurriremos a la definición, mediante un límite, de la derivada:

Fórmula de la definición de derivada

Como aquí f(x) es la función ln(x):

Definición en la demostración de la derivada de la función logaritmo

Aplicando las propiedades de las funciones logarítmicas, en concreto la propiedad, a la inversa, de la división y la de la potencia

Función inversa en la demostración

Siguiendo con las propiedades de las funciones logarítmicas, ahora la propiedad de la función logarítmica (el límite del logaritmo es el logaritmo del límite):

Límite en la demostración

Hacemos una transformación en el paréntesis de fracciones, insertamos en el exponente x / x = 1, que no altera el resultado y aplicamos las propiedades de la potencia de potencia:

Fracción en la demostración

Si hacemos la transformación o cambio de variable x / Δx = n nos encontramos con una de las expresiones del número irracional e.

Transformación en la demostración

Como por las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia y, además, como el logaritmo natural del número e es la unidad, queda demostrada la derivada del logaritmo buscada:

Final en la demostración

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