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Derivada de la arcotangente

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La derivada de la arcotangente es:

Fórmula de la derivada de la arcotangente

La función arcotangente es la función inversa de la función tangente tal que, por definición:

Definición de la arcotangente

Por lo que la derivada del arcotangente es la derivada de la función inversa de la función tangente.

Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta de la arcotangente, se obtendrá aplicando la regla de la cadena.

Fórmula de la derivada de la arcotangente por composición de funciones

La derivada del arcotangente de una función es igual a la derivada de esa función dividida por uno más la función al cuadrado.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Hallar la derivada de la arcotangente de la función f(x) = x²:

Enunciado del ejercicio 1

Operamos:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:

Enunciado del ejercicio 2

Demostración de la derivada de la arcotangente

Sabemos que la arcotangente es la función inversa de la tangente. Por lo que podemos dar la vuelta a la función, a la que podemos llamarle, para mayor facilidad, y:

Función inversa en la demostración de la derivada de la función arcotangente

Por derivación implícita, (derivando el primer término por la regla de la cadena) llegamos a:

Derivada implícita en la demostración

Se despeja la derivada, y’, que es la que nos interesa:

Despejando y en la demostración

En la anterior expresión se sustituye tan (y)por x, según la igualdad a):

Tangente de y en la demostración

Queda demostrada la derivada.

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