Cargando...La derivada de la arcotangente es:
La función arcotangente es la función inversa de la función tangente tal que, por definición:
Por lo que la derivada del arcotangente es la derivada de la función inversa de la función tangente.
Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta de la arcotangente, se obtendrá aplicando la regla de la cadena.
La derivada del arcotangente de una función es igual a la derivada de esa función dividida por uno más la función al cuadrado.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de la arcotangente de la función f(x) = x²:
Operamos:
Ejercicio 2
Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:
Demostración de la derivada de la arcotangente
Sabemos que la arcotangente es la función inversa de la tangente. Por lo que podemos dar la vuelta a la función, a la que podemos llamarle, para mayor facilidad, y:
Por derivación implícita, (derivando el primer término por la regla de la cadena) llegamos a:
Se despeja la derivada, y’, que es la que nos interesa:
En la anterior expresión se sustituye tan (y)por x, según la igualdad a):
Queda demostrada la derivada.