Tangente

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Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de la tangente

La tangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Fórmula de la tangente

Es una de las razones trigonométricas. Se llaman razones porque se expresan como el cociente de dos de los lados del triángulo rectángulo.

Su abreviatura son tan o tg.

Tangente de ángulos característicos

La tangente de los ángulos más característicos es:

Tabla de la tangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).
Dibujo en la circunferencia goniométrica de la tangente de los ángulos más característicos y el signo de la tangente en cada cuadrante.

Características de la tangente

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  • Dominio: Dominio de la tangente. (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…
  • Recorrido: Codominio de la tangente.
  • Simetría: dado que tan (-x) = -tan (x) entonces tan (x) es una función impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
  • Crecimiento y decrecimiento: tomando el período π/2 a 3π/2, tan (x) crece. Por tanto, hay dos asíntotas verticales de fórmulas x = π/2 + k · π.
  • Límites: Los límites cuando x se acerca a π/2 a 3π/2 no existen ya que la función oscila entre ±∞. Esta es una función periódica con período π.
  • Derivada: Derivada de la tangente.
  • Integral: Integral de la tangente.

Representación gráfica de la función tangente

Gráfica de la función de la tangente.

La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Representación geométrica de la tangente

Dibujo de la representación geométrica de la tangente.

Relaciones de la tangente con las restantes razones trigonométricas

(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Dibujo de los signos de las relaciones trigonométricas en la circunferencia goniométrica

Tangente del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto

Tangente del ángulo suma, resta, doble y mitad

Fórmula de Briggs

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La fórmula de Briggs relaciona la tangente de los tres ángulos mitad del triángulo con los tres lados (a, b y c).

Las tres fórmulas son las siguientes:

Fórmula de Briggs

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

Fórmula del teorema de la tangente

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Tabla de la relación entre razones trigonométricas.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Otras razones trigonométricas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Tabla de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º).

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Tabla de la relación entre razones trigonométricas.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Razones trigonométricas recíprocas

Dibujo del triángulo rectángulo para el cálculo de las razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Dibujo de las funciones trigonoméricas de un triángulo sobre una circunferencia de radio 1

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2014


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5 Respuestas

  1. annnnonimo dice:

    No entiendo nada

  2. anonimus dice:

    No entiendo nada x2

  3. Janónimo777 dice:

    No entiendo nada.
    🙁

  4. Anónimo dice:

    No he entendido nada

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