Tangente

La tangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

Es una de las razones trigonométricas. Se llaman razones porque se expresan como el cociente de dos de los lados del triángulo rectángulo.

Su abreviatura son tan o tg.

Tangente de ángulos característicos

La tangente de los ángulos más característicos es:

Características de la tangente

• Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…
• Recorrido:
• Simetría: dado que tan (-x) = -tan (x) entonces tan (x) es una función impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
• Crecimiento y decrecimiento: tomando el período π/2 a 3π/2, tan (x) crece. Por tanto, hay dos asíntotas verticales de fórmulas x = π/2 + k · π.
• Límites: Los límites cuando x se acerca a π/2 a 3π/2 no existen ya que la función oscila entre ±∞. Esta es una función periódica con período π.
• Derivada:
• Integral:

Representación gráfica de la función tangente

La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Representación geométrica de la tangente

Relaciones de la tangente con las restantes razones trigonométricas

• Relación con el seno:
  
• Relación con el coseno:
  
• Relación con la cosecante:
  
• Relación con la secante:
  
• Relación con la cotangente:
  

(1) Nota: el signo que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Tangente del ángulo complementario, suplementario, conjugado y opuesto

• Tangente del ángulo complementario:
  
• Tangente del ángulo suplementario:
  
• Tangente del ángulo conjugado:
  
• Tangente del ángulo opuesto:
  
• Tangente de ángulos que difieren 90º:
  
• Tangente de ángulos que difieren 180º:
  

Tangente del ángulo suma, resta, doble y mitad

• Tangente del ángulo suma:
  
• Tangente del ángulo resta:
  
• Tangente del ángulo doble:
  
• Tangente del ángulo mitad:
  
• Tangente del ángulo triple:
  

Fórmula de Briggs

La fórmula de Briggs relaciona la tangente de los tres ángulos mitad del triángulo con los tres lados (a, b y c).

Las tres fórmulas son las siguientes:

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Otras razones trigonométricas

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

• El seno se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
  
• El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
  

Razones trigonométricas de ángulos característicos

El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

Relación entre razones trigonométricas

Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra.

Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo.

Razones trigonométricas recíprocas

Las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo α se obtienen como razones entre los tres lados de un triángulo rectángulo, siendo α uno de sus ángulos agudos.

• Cosecante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a):
  
• Secante de α. Se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b):
  
• Cotangente de α. Se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a):
  

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se llaman también funciones circulares. El motivo es que el punto B del triángulo que se ha dibujado sobre el eje de coordenadas, con el vértice del ángulo α en el centro de una circunferencia (O), puede recorrer todos los puntos de esta última.

Se pueden representar gráficamente las funciones trigonométricas y las funciones trigonométricas inversas en el triángulo sobre una circunferencia de radio r=1.