Arcotangente

La arcotangente es la función inversa de la tangente. Es decir:

Al ser la arcotangente y la tangente funciones inversas, su composición es la identidad, es decir:

Su abreviatura es arctan o tan^-1.

Características de la arcotangente

• Dominio (x):
• Recorrido (α):

  Para poder definir la función inversa de una función, necesariamente debe ser biyectiva. La función tangente no es inyectiva en el conjunto de los reales. Por convención, se restringe el codominio al intervalo [-π/2,π/2] para que la función tangente sea biyectiva.

  Es decir, dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas son uno a uno, deben restringirse para tener funciones inversas. Por lo tanto, los dominios de las funciones trigonométricas se restringen de manera apropiada para que se conviertan en funciones uno a uno y se pueda determinar su inversa.

La derivada de la función arcocoseno: La derivada de la función arcocoseno
La integral de la función arcocoseno: La integral de la función arcocoseno
Comportamiento final:

• La función es continua y creciente en todo el dominio.
• Simetría: impar (arctan(−x) = − arctan(x)).
• Derivada de la función arcotangente:
• Integral de la función arcotangente:
  
• Límites: los límites en el ±∞ son:
  

Arcotangente de valores característicos

La arcotangente de los valores más característicos es:

Representación gráfica de la función arcotangente

Para comprender mejor la gráfica del artangente, veamos primero la representación gráfica de la función tangente:

Como vemos en el gráfico anterior, la tangente es periódica, no es uno a uno (función biyectiva) y el gráfico de la función tangente falla la prueba de la línea horizontal. Por tanto, la tangente no tiene una función inversa a menos que restrinjamos su dominio. Entonces, por convención, el dominio de la tangente generalmente está restringido al intervalo (-π/2, π/2).

La gráfica de la función arcotangente es simétrica a la de la función tangente respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (y=x). Con la restricción al intervalo (-π/2, π/2) ambas funciones son crecientes y una inversa de la otra.