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Tasa de variación

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La tasa de variación representa el incremento positivo o negativo (crecimiento y decrecimiento) del valor de una función f(x) al pasar la variable independiente de un valor a a otro mayor b.

Fórmula de la tasa de variación

Vemos que, en un mismo intervalo [a, b], la función f(x) varía más que la función g(x).

Gráfica de la tasa de variación

Tasa de variación media

La tasa de variación media (T.V.M.) de una función f(x) en un intervalo de su variable independiente [a, a + Δx] perteneciente al dominio de la función se representa como el cociente entre el incremento de la función en ese intervalo dividido por la amplitud de ese mismo intervalo.

Fórmula de la tasa de variación media

La T.V.M., según la función y el intervalo, puede ser positiva, negativa o nula.

Interpretación geométrica de la T.V.M.

La fórmula anterior de la tasa de variación media (T.V.M.) se corresponde con la pendiente de la recta que une los puntos de la función de abscisas a y a, a + Δx, es decir, la tangente del ángulo α:

Representación de la T.V.M.

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 de la T.V.M.

Ejercicio

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Averiguar si en estos dos intervalos, de igual amplitud, [0, 2] y [2, 4] de la función f(x) = (x / 2)² + 1, sus tasas de variación media son iguales o no.

Resultado del ejercicio 1

La T.V.M. es mayor en el segundo intervalo que en el primero, aunque ambos tengan la misma amplitud (Δx = 2).

Tasa de variación instantánea

La tasa de variación instantánea (T.V.I.) de una función f(x) en un punto de abscisa a es el límite del valor de la tasa de variación media cuando el intervalo considerado tiende a cero.

Se representa por las expresiones:

Fórmula de la tasa de variación instantánea

Al igual que la T.V.M., la tasa de variación instantánea, según la función y el punto a, puede ser positiva, negativa o nula. Nos indica cómo de rápidamente crece o decrece la función en un determinado punto. Es un número real.

Interpretación geométrica de la T.V.I.

La T.V.I. se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto. Esta pendiente es la tangente del ángulo α de dicha recta tangente:

Representación de la T.V.I.

O, lo que es lo mismo:

Fórmula 2 de la T.V.I.

La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en a es la derivada de la función en ese punto: f’(a).

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