Cargando...La derivada del arcocoseno es:
La función arcocoseno es la función inversa de la función coseno tal que, por definición:
Como las razones trigonométricas no son funciones porque son cíclicas, se restringe el dominio para que sean estrictamente crecientes o decrecientes. Existe la función inversa del coseno porque la función coseno es inyectiva.
La función arcocoseno es decreciente y biyectiva pues se restringe el dominio a [-1, 1].
La derivada del arcocoseno es la derivada de la función inversa de la función coseno.
Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta del arcocoseno, z(x), será, aplicando la regla de la cadena:
La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada de esa función dividida por la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado.
En la gráfica se ve que las funciones coseno y arcocoseno son simétricas, en las que, como todas las funciones inversas, para cada punto arbitrario a se cumple que si f(a) = b, entonces f-1(b) = a. Aplicando la fórmula de la derivada del arcocoseno, en azul tenemos la gráfica de la función derivada del arcocoseno (en este caso, de un ángulo de 60°, o sea, 1,05 radianes). El valor de la derivada en ese punto es -1,15.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada del arcocoseno de la función f(x) = 2x³.
Operamos:
Ejercicio 2
Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:
Demostración de la derivada del arcocoseno
Sabemos que el arcocoseno es la función inversa del coseno. Por lo que podemos dar la vuelta a la función, a la que podemos llamarle, para mayor facilidad, y:
Por derivación implícita, (derivando el primer término por la regla de la cadena) llegamos a:
Se despeja la derivada, y’, que es la que nos interesa:
Vamos de momento a la identidad fundamental de la trigonometría a identidades trigonométricas en la que despejamos sen (y):
En la anterior expresión se sustituye sen (y), colocando bajo el radical la equivalencia de cos (y) por x, según la igualdad a):
Queda demostrada la derivada.