Derivada del arcocoseno

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La derivada del arcocoseno es:

Fórmula de la derivada del arcocoseno

La función arcocoseno es la función inversa de la función coseno tal que, por definición:

Definición del arcocoseno

Como las razones trigonométricas no son funciones porque son cíclicas, se restringe el dominio para que sean estrictamente crecientes o decrecientes. Existe la función inversa del coseno porque la función coseno es inyectiva.

La función arcocoseno es decreciente y biyectiva pues se restringe el dominio a [-1, 1].

La derivada del arcocoseno es la derivada de la función inversa de la función coseno.

Vista la derivada de la función elemental, la derivada de una función compuesta del arcocoseno, z(x), será, aplicando la regla de la cadena:

Fórmula de la derivada del arcocoseno por composición de funciones

La derivada del arcocoseno de una función es igual a menos la derivada de esa función dividida por la raíz cuadrada de uno menos la función al cuadrado.

En la gráfica se ve que las funciones coseno y arcocoseno son simétricas, en las que, como todas las funciones inversas, para cada punto arbitrario a se cumple que si f(a) = b, entonces f-1(b) = a. Aplicando la fórmula de la derivada del arcocoseno, en azul tenemos la gráfica de la función derivada del arcocoseno (en este caso, de un ángulo de 60°, o sea, 1,05 radianes). El valor de la derivada en ese punto es -1,15.

Gráfica de la derivada del arcocoseno

Ejercicios

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Ejercicio 1

Hallar la derivada del arcocoseno de la función f(x) = 2x³.

Enunciado del ejercicio 1

Operamos:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

Obtener la derivada de esta función compuesta aplicando la regla de la cadena:

Enunciado del ejercicio 2

Demostración de la derivada del arcocoseno

Sabemos que el arcocoseno es la función inversa del coseno. Por lo que podemos dar la vuelta a la función, a la que podemos llamarle, para mayor facilidad, y:

Función inversa en la demostración de la derivada de la función arcocoseno

Por derivación implícita, (derivando el primer término por la regla de la cadena) llegamos a:

Derivada implícita en la demostración

Se despeja la derivada, y’, que es la que nos interesa:

Despejar derivada en la demostración

Vamos de momento a la identidad fundamental de la trigonometría a identidades trigonométricas en la que despejamos sen (y):

Identidades trigonométricas en la demostración

En la anterior expresión se sustituye sen (y), colocando bajo el radical la equivalencia de cos (y) por x, según la igualdad a):

Final en la demostración

Queda demostrada la derivada.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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