Derivada de la tangente

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La derivada de la tangente se obtiene indistintamente con estas tres fórmulas equivalentes:

Fórmula de la derivada de la tangente

Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la tangente, mediante la regla de la cadena, se usan estas tres fórmulas igualmente equivalentes:

Fórmula de la derivada de la tangente por composición de funciones

Ejercicios

Ejercicio 1

Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con la tangente:

Enunciado del ejercicio 1

La derivada se hallará aplicando la regla de la cadena:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 2

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Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta:

Enunciado del ejercicio 2

La derivada se hallará también con la regla de la cadena, pero esta vez con una de las tres alternativas equivalentes para la derivada de la tangente:

Resultado del ejercicio 2

Demostración de la derivada de la tangente

Para demostrar la fórmula, en primer lugar sabemos la derivada del seno y la derivada del coseno:

Derivada del seno y coseno en la demostración de la derivada

La derivada de la tangente la podemos expresar así:

Definición de la fórmula en la demostración de la derivada de la tangente

Derivamos mediante la derivada de un cociente:

Derivada del cociente en la demostración de la derivada

Así tenemos la primera expresión de la derivada de la tangente. Para encontrar las otras dos recurrimos a la identidad fundamental de la trigonometría:

Identidades trigonométricas en la demostración de la derivada

Dividimos los dos términos por cos² (x):

Coseno en la demostración de la derivada

La primera fracción es el cuadrado de la tangente, la segunda, la unidad, el segundo término de la igualdad es una de las tres fórmulas de la derivada de la tangente.

Hemos demostrado las tres fórmulas de la derivada de la función tangente, porque la cosecante es el inverso multiplicativo del coseno:

Cosecante en la demostración de la derivada

Se muestra una imagen con la función tangente y la función derivada de la tangente. Para un valor de x = 1 radián (57,29°), la tangente es 1,557 y la derivada en ese punto, 3,426:

Dibujo de un ejemplo

AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2020


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