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Cargando...La derivada de la tangente se obtiene indistintamente con estas tres fórmulas equivalentes:
Cuando se trata de la derivada de una composición de funciones con la tangente, mediante la regla de la cadena, se usan estas tres fórmulas igualmente equivalentes:
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar la derivada de esta función, composición de funciones con la tangente:
La derivada se hallará aplicando la regla de la cadena:
Ejercicio 2
Hallar igualmente la derivada de esta función compuesta:
La derivada se hallará también con la regla de la cadena, pero esta vez con una de las tres alternativas equivalentes para la derivada de la tangente:
Demostración de la derivada de la tangente
Para demostrar la fórmula, en primer lugar sabemos la derivada del seno y la derivada del coseno:
La derivada de la tangente la podemos expresar así:
Derivamos mediante la derivada de un cociente:
Así tenemos la primera expresión de la derivada de la tangente. Para encontrar las otras dos recurrimos a la identidad fundamental de la trigonometría:
Dividimos los dos términos por cos² (x):
La primera fracción es el cuadrado de la tangente, la segunda, la unidad, el segundo término de la igualdad es una de las tres fórmulas de la derivada de la tangente.
Hemos demostrado las tres fórmulas de la derivada de la función tangente, porque la cosecante es el inverso multiplicativo del coseno:
Se muestra una imagen con la función tangente y la función derivada de la tangente. Para un valor de x = 1 radián (57,29°), la tangente es 1,557 y la derivada en ese punto, 3,426:
