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Cargando...La continuidad en un intervalo estudia si una función es continua en cierto intervalo.
Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].
Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).
- Intervalo abierto (a,b). Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa con dos paréntesis (a,b).
La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.
- Intervalo cerrado [a,b]. Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes.
La función es continua si:
- f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
- f es continua por la derecha en a:
- f es continua por la izquierda en b:
- Intervalo abierto por la izquierda (a,b] (no incluye a). La función es continua si:
- f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
- f es continua por la izquierda en b:
- Intervalo abierto por la derecha [a,b) (no incluye b). La función es continua si:
- f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
- f es continua por la derecha en a:
Ejemplo
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Estudiar la continuidad de la función f en el intervalo [1,4], siendo f:
- f es continua en todos los puntos interiores (1,4). La función definida en este intervalo es f(x)=1, que al tratarse de una función constante es continua.
- Ahora veamos si f es continua por la derecha en 1, es decir, si f(1) y el límite por la derecha en 1 coinciden:
- Por último, vemos si f es continua por la izquierda en 4, viendo si f(4) y el límite por la izquierda en 4 coinciden:
Como f es continua dentro del intervalo y en los extremos, vemos como la función es continua en el intervalo [1,4].
![Dibujo de una función continua en el intervalo [1,4].](/imagenes/matematicas/analisis/ejemplo-funcion-continuidad-intervalo.jpg)
Que es una x entre dos barras -2
determinar si la funcion f es continua en el intervalo indicado F(X)=√x^2-9 (raiz de x ala 2 menos 9)
a) [-3,3)
b) [3,∞)
me colaboran por fa
Mira el procedimiento explicado.
Estudia los límites laterales.
No está definida en (-3, 3).
a) discontinua
b) continua
Muy buena explicación, pero la gráfica está mal, ya que el punto (4,1) si existe y el (4,2) no.
Exacto, Roberto, bien visto. Ya está la imagen correspondiente al intervalo cerrado [1, 4]
Informacion util y me parece muy eficiente que incluyan un ejemplo. Como estudiante este sitio me parece una maravilla.
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¡¡ Totalmente de acuerdo !!