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Límites indeterminados infinito elevado a cero

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Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1, 0 y 00 se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación (1):

Primera transformación en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:

Segunda transformación en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Propiedad de los límites en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por otra de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Propiedad 2 de los límites en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:

Transformación total en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Ejercicio

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Veamos un ejemplo de indeterminación ∞0:

Función del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Sustituimos en la segunda igualdad el valor del límite en la x. Vemos que es una indeterminación exponencial, por lo que se puede aplicar directamente la transformación (1).

Cálculo aplicando transformación 1 del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Vamos a centrarnos en el exponente, que es el límite L. Arroja otra vez una indeterminación ∞0:

Cálculo del exponente del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Para llegar a otra indeterminación en forma de cociente, pasaremos el primer factor, invirtiéndolo, al denominador, y poder aplicar así la regla de L’Hôpital:

Cálculo aplicando la regla de l'Hôpital del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

Derivamos por separado el numerador y el denominador y operamos con fracciones:

Cálculo operando fracciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

El valor del exponente L hallado es L = 0, por lo que el valor del límite buscado, que recordemos que es el de la expresión (1), será:

Resultado del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

El límite es la unidad. Se ve en el gráfico:

Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados infinito elevado a cero

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