(3 votos, promedio: 3,33 de 5)
Cargando...Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1∞, ∞0 y 00 se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación (1):
Se verifica, puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.
En cualquier límite exponencial indeterminado, por tanto, podemos hacer:
Por una de las propiedades de los límites, el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:
Por otra de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:
Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.
En total, la transformación, que llamaremos (1), queda:
Ejercicio
Veamos un ejemplo de indeterminación ∞0:
Sustituimos en la segunda igualdad el valor del límite en la x. Vemos que es una indeterminación exponencial, por lo que se puede aplicar directamente la transformación (1).
Vamos a centrarnos en el exponente, que es el límite L. Arroja otra vez una indeterminación ∞0:
Para llegar a otra indeterminación en forma de cociente, pasaremos el primer factor, invirtiéndolo, al denominador, y poder aplicar así la regla de L’Hôpital:
Derivamos por separado el numerador y el denominador y operamos con fracciones:
El valor del exponente L hallado es L = 0, por lo que el valor del límite buscado, que recordemos que es el de la expresión (1), será:
El límite es la unidad. Se ve en el gráfico:
