Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1∞, ∞0 y 00, que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:
Puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.
En cualquier límite exponencial indeterminado, según lo que se acaba de decir, podemos hacer:
Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:
Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:
Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente de este tipo de expresiones: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.
La transformación, a la que llamaremos (1), queda:
Los límites indeterminados del tipo 1∞ son los límites exponenciales en los que la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞.
Son de los llamados límites del tipo e.
Para resolver límites indeterminados, en concreto del tipo 1∞, se puede aplicar la propiedad siguiente:
Retengamos esta propiedad, porque es muy útil para resolver estos límites exponenciales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Vamos a resolver el siguiente límite del tipo 1∞:
Al sustituir el valor del límite en la x, resulta un límite del tipo 1∞, o sea, límites del tipo e, por lo que lo resolvemos mediante la fórmula anterior:
Y operando en fracciones del paréntesis del exponente, resolviendo, hallamos el valor del límite:
Como se puede ver en la gráfica:
Ejercicio 2
Veamos otro límite indeterminado 1∞ que vamos a resolverlo por los dos procedimientos: primero mediante la regla o fórmula específica para 1∞ empleada anteriormente y, después, aplicando la transformación (A), para emplear después la regla de LHôpital.
Vamos a calcular el límite de la siguiente función:
Por una de las propiedades de los límites: el límite de una potencia es la potencia del límite. Por lo que se ve, en este caso, que:
Vemos, siempre al sustituir el valor del límite en x, que es una indeterminación del tipo del tipo 1∞. Se resuelve este límite indeterminado mediante la fórmula específica indicada anteriormente para este tipo de indeterminaciones, operando en fracciones y reduciendo en numerador y denominador:
El mismo límite se resuelve a continuación mediante el empleo de la regla de L’Hôpital.
El proceso, en este caso simple, es más largo, pero así hacemos uso de la regla de L’Hôpital y comprobamos que se llega, lógicamente, al mismo valor del límite.
Para aplicar esta regla, se debe llegar a una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞. Se empieza aplicando a la expresión la transformación (1).
Primero, transformamos la expresión, sabiendo que, como se ha dicho antes, que la potencia y el logaritmo de la misma base de esa potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas:
Empleamos una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:
Al exponente de base e le llamamos L.
Ahora, vamos a centrarnos en el exponente (L), hallando su límite. En primer lugar, se substituye el valor del límite en la x:
Resulta otro límite indeterminado, ahora del tipo 0 · ∞. Seguiremos, convirtiendo la expresión en el límite de un cociente:
Vemos que el numerador tiende a 0 (ln 4/4 = ln 1 = 0). También el denominador tiende a 0 (4 – 4 = 0).
Con lo que ya tenemos una indeterminación del tipo 0 / 0, que es una de las dos indeterminaciones (cocientes) a las que se le puede aplicar la regla de L’Hôpital. Derivamos por separado el numerador y el denominador y, al final, volvemos a substituir el valor del límite en la x:
El límite al que se ha llegado por la regla de L’Hôpital (1 / 4) es el límite del exponente L de la expresión (1), por lo que el límite buscado en el ejercicio será:
Obtenido el mismo valor del límite por dos métodos.
La gráfica de la función y el límite buscado se muestra en la figura:
