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Límites indeterminados uno elevado a infinito

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Se refieren a casos de función potencial exponencial, donde tanto la base como el exponente son funciones. En general, los límites exponenciales indeterminados de los tres tipos, 1, 0 y 00, que se resuelven aplicando en primer lugar esta transformación:

Funciones en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Puesto que la potencia y el logaritmo de la misma base que la potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas.

En cualquier límite exponencial indeterminado, según lo que se acaba de decir, podemos hacer:

Transformación 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por una de las propiedades de los límites: el límite de un logaritmo es el logaritmo del límite:

Transformación 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Transformación 3 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por comodidad, podemos llamar al límite del exponente de este tipo de expresiones: L. Como se ha dicho, la transformación descrita es aplicable a los tres tipos de límites exponenciales indeterminados.

La transformación, a la que llamaremos (1), queda:

Transformación final (1) en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Los límites indeterminados del tipo 1 son los límites exponenciales en los que la base tiende a 1 y el exponente tiende a ∞.

Son de los llamados límites del tipo e.

Límites del tipo e en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Para resolver límites indeterminados, en concreto del tipo 1, se puede aplicar la propiedad siguiente:

Propiedad 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Retengamos esta propiedad, porque es muy útil para resolver estos límites exponenciales.

Ejercicios

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Ejercicio 1

Vamos a resolver el siguiente límite del tipo 1:

Funciones del ejemplo 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Al sustituir el valor del límite en la x, resulta un límite del tipo 1, o sea, límites del tipo e, por lo que lo resolvemos mediante la fórmula anterior:

Cálculos con la propiedad (1) del ejemplo 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Y operando en fracciones del paréntesis del exponente, resolviendo, hallamos el valor del límite:

Cálculo del límite del ejemplo 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Como se puede ver en la gráfica:

Gráfica del ejemplo 1 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Ejercicio 2

Veamos otro límite indeterminado 1 que vamos a resolverlo por los dos procedimientos: primero mediante la regla o fórmula específica para 1 empleada anteriormente y, después, aplicando la transformación (A), para emplear después la regla de LHôpital.

Vamos a calcular el límite de la siguiente función:

Funciones del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Por una de las propiedades de los límites: el límite de una potencia es la potencia del límite. Por lo que se ve, en este caso, que:

Transformación 1 del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Vemos, siempre al sustituir el valor del límite en x, que es una indeterminación del tipo del tipo 1. Se resuelve este límite indeterminado mediante la fórmula específica indicada anteriormente para este tipo de indeterminaciones, operando en fracciones y reduciendo en numerador y denominador:

Transformación 2 del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

El mismo límite se resuelve a continuación mediante el empleo de la regla de L’Hôpital.

El proceso, en este caso simple, es más largo, pero así hacemos uso de la regla de L’Hôpital y comprobamos que se llega, lógicamente, al mismo valor del límite.

Funciones del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Para aplicar esta regla, se debe llegar a una indeterminación del tipo 0/0 o ∞/∞. Se empieza aplicando a la expresión la transformación (1).

Primero, transformamos la expresión, sabiendo que, como se ha dicho antes, que la potencia y el logaritmo de la misma base de esa potencia se anulan entre sí por ser funciones inversas:

Cálculo 1 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Empleamos una de las propiedades de los logaritmos, el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base:

Cálculo 2 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Al exponente de base e le llamamos L.

Cálculo 3 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Ahora, vamos a centrarnos en el exponente (L), hallando su límite. En primer lugar, se substituye el valor del límite en la x:

Cálculo 4 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Resulta otro límite indeterminado, ahora del tipo 0 · ∞. Seguiremos, convirtiendo la expresión en el límite de un cociente:

Cálculo 5 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Vemos que el numerador tiende a 0 (ln 4/4 = ln 1 = 0). También el denominador tiende a 0 (4 – 4 = 0).

Con lo que ya tenemos una indeterminación del tipo 0 / 0, que es una de las dos indeterminaciones (cocientes) a las que se le puede aplicar la regla de L’Hôpital. Derivamos por separado el numerador y el denominador y, al final, volvemos a substituir el valor del límite en la x:

Cálculo 6 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

El límite al que se ha llegado por la regla de L’Hôpital (1 / 4) es el límite del exponente L de la expresión (1), por lo que el límite buscado en el ejercicio será:

Cálculo 7 utilizando la regla de l'Hôpital del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

Obtenido el mismo valor del límite por dos métodos.

La gráfica de la función y el límite buscado se muestra en la figura:

Gráfica del ejemplo 2 en los límites indeterminados uno elevado a infinito

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