Relaciones trigonométricas

Las relaciones trigonométricas más importantes son las siguientes:

Identidad fundamental de la trigonometría

La identidad fundamental de la trigonometría afirma que la suma de los cuadrados del seno y del coseno de cualquier ángulo (α) es igual a 1.

¿Cómo se obtiene?

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Dibujo del triángulo rectángulo

Sea un triángulo con vértices A, B y C y de lados a, b y c. Sabemos que el seno y el coseno de α son:

Sustituyendo en la fórmula obtenemos que:

Ejemplo

Sea un ángulo α=45º.

Relación entre el seno, coseno y tangente

Esta relación dice que la tangente es igual a la razón entre el seno y el coseno.

¿Cómo se obtiene?

Dibujo del triángulo rectángulo

Sea un triángulo con vértices A, B y C y lados a, b y c. Sea α el ángulo agudo que forman b y c.

Sustituyendo el seno y el coseno se obtiene que:

Demostración de la fórmula de la tangente como razón entre el seno y coseno.

Ejemplo

Sea un ángulo α=60º.

Relación entre la tangente y la secante

Esta fórmula relaciona la tangente y la secante.

¿Cómo se obtiene?

La relación se obtiene dividiendo la identidad fundamental de la trigonometría entre el cos² α.

Demostración de como se obtiene la relación trigonométrica entre la tangente y la secante.

Ejemplo

Sea un ángulo α=60º.

Relación entre la cosecante y cotangente

Esta relación afirma que la cotangente al cuadrado más uno es igual al cuadrado de la cosecante.

¿Cómo se obtiene?

Esta relación se obtiene fácilmente dividiendo la identidad fundamental de la trigonometría entre el sen² α.

Demostración de como se obtiene la relación trigonométrica entre la cosecante y la cotangente.

Ejemplo

Sea un ángulo α=60º.

Teorema del seno

El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).

Dibujo del triángulo circunscrito en una circunferencia

La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.

Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.

Teorema del coseno

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El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.

De hecho, si el ángulo A fuese recto (90º), su coseno seria cero, quedando: a² = b²+c². Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces el coseno sería negativo.

Teorema de la tangente

El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:

Dibujo del triángulo con sus tres lados y ángulos

La razón entre la suma de dos lados (a, b o c) de un triángulo y su resta es igual a la razón entre la tangente de la media de los dos ángulos opuestos a dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia de éstos.