Función creciente

Una función creciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.

Es decir, la función f es creciente si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) ≤ f(x₂).

También se puede estudiar el crecimiento a partir de la derivada. Una función f es creciente si para todo punto x del dominio la derivada es positiva, es decir f ’(x) ≥ 0.

La función es estrictamente creciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂).

Función creciente en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].

Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) < f(x₂). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.

Ejemplo de crecimiento en un intervalo

Función creciente en un punto

Sea una función f derivable en el punto a.

La función f es creciente en a si f ’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.

Ejemplo de crecimiento en un punto

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.

1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
   
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.

   Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían  (-∞,1) ,  (1,3)  y  (3,+∞) .

4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
   

   Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.

5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Sea la función f definida en los número reales (intervalo  (-∞,+∞) ):

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.

1. Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
   
2. Hallamos las raíces de la derivada:
   
3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
   
4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
   
5. Hallamos que:
   • f es creciente en  (-∞,0)  y en  (2,+∞) .
   • f es decreciente en  (0,2) .

Ejemplo de función creciente en un intervalo

Estudiar y demostrar que la función f(x)=x² es creciente en el intervalo [1,3].

En el intervalo [1,3], los extremos son a=1 y b=3. Vamos a ver en los puntos x₁=1,5 y x₂=2,5.

En el valor 1,5 la función f es menor que en el 2,5, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x₁ y x₂. Por lo tanto la función es creciente en el intervalo [1,3].

Ejemplo de función creciente en un punto

Demostrar que la función f(x)=x³-5x²+5x+4 es creciente en 0 y 3.

Primero calcularemos la derivada de f:

• Veamos en el punto x=0.
  

  La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.

• Finalmente estudiaremos el punto x=3.
  

  La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.