Función inyectiva

Una función inyectiva f es si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos x_a y x_b:

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x₀ ≠ x₁ ⇒ f(x₀) ≠ f(x₁).

Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Ejemplo de función inyectiva

La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si x_a y x_b tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Veamos la gráfica de otra función:

Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.

Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: asignemos a P al conjunto de presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a I el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea f la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función f es, por tanto, inyectiva pues a cada presidente le corresponde una única fecha de su primera toma de posesión. Aunque, por ejemplo, Barack Obama, aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012.

Otro ejemplo de función inyectiva es la del volumen de la esfera, donde r es su radio. Donde los valores de volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos. Y a cada valor del radio le corresponde un único valor del volumen.

Ejercicio 1

Sea la función f(x) = x³ / 3. Esta función es inyectiva ya que a cada elemento del conjunto final solo le corresponde un elemento del inicial.

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si x y y tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Ejercicio 2

Ahora tenemos la función f(x) = x²-1. Vamos a ver que esta función no es inyectiva.

Como vemos en el gráfico anterior, f(-2)=3 y f(2)=3 tienen la misma imagen. En una función inyectiva no es posible que dos números diferentes tengan la misma imagen. Veamos que realmente no se cumple la condición de inyectividad:

Como x_a y x_b pueden ser diferentes y tener la misma imagen, entonces f no es inyectiva.

Prueba de la recta horizontal

La prueba de la recta horizontal se realiza para comprobar si una función es o no inyectiva. Consiste en dibujar una recta horizontal paralela al eje de abscisas y ver en cuantos puntos corta dicha recta a la gráfica.

• Si encontramos alguna recta horizontal que corta a la gráfica en dos o más puntos, la función no es inyectiva.
• En cambio, si todas las rectas horizontales cortan en un máximo de un punto, la función es inyectiva.