Ecuaciones algebraicas

Las ecuaciones algebraicas son igualdades de dos expresiones algebraicas.

Los tres tipos principales son:

  1. Ecuaciones de primer grado
  2. Ecuaciones de segundo grado
  3. Ecuaciones de grado superior

Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales) son las que las variables aparecen elevadas a la primera potencia. Es decir, los términos tienen como máximo grado 1.

Ejemplo de una ecuación de primer grado

En cambio, esta ecuación no es de primer grado.

Ejemplo de una ecuación no lineal

En las ecuaciones lineales, las variables ni se multiplican ni se dividen entre sí, como pasa en el ejemplo siguiente.

Ejemplo de una ecuación no de primer grado con las incógnitas multiplicándose

Estas dos últimas serían ecuaciones no lineales.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita (o ecuaciones lineales con una incógnita) son la forma más simple de las ecuaciones de primer grado. Son las que se pueden transformar en otra ecuación equivalente del tipo:

Ejemplo de una ecuación lineal con una incógnita

Siendo a y b números y x la única incógnita.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita:

  • Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo.
    Paso de la variable a la izquierda en la resolución de ecuaciones lineales

    Cabe remarcar que es igualmente válido hacer la agrupación de la variable a la derecha y de los números a la izquierda, pero nos vamos a centrar en el otro caso.

  • Si hay paréntesis, el elemento que multiplica o divide al paréntesis se multiplicará o dividirá por los elementos que hay dentro del paréntesis.
    Multiplicación por elementos de un paréntesis en la resolución de ecuaciones de primer grado
  • Cuando hay fracciones, se transforman todos los términos para que tengan un común denominador. Para ello se buscará el mínimo común múltiplo (ver operaciones con fracciones).
    Fracciones en la resolución de ecuaciones de primer grado

    En este caso el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 12. Se reduce a común denominador. Operando, se eliminan los denominadores:

    Eliminar denominadores en la resolución de ecuaciones lineales
  • El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo.
    Paso del término dividiendo en la resolución de ecuaciones de primer grado
  • Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución.
    Solución en la resolución de ecuaciones lineales
  • Conviene siempre comprobar la solución, colocándola en la primera ecuación en el lugar de la incógnita.
    Comprobación de la solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado puede tener una solución:

Una solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Ninguna:

Ninguna solución en la resolución de ecuaciones lineales

Ningún valor de x satisface la ecuación.

O admitir cualquier solución:

Cualquier solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Esta ecuación, en realidad sería una identidad.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado puede tener una o varias incógnitas. He aquí una:

Ejemplo de una ecuación lineal con dos incógnitas

Cuando una ecuación de primer grado tiene más de una incógnita, para obtener soluciones, las incógnitas a partir de la primera actuarán como parámetros. Dándole valores a los parámetros se obtendrán soluciones particulares a la incógnita aislada.

Calcular parámetros en ecuaciones lineales de dos incógnitas

Si se toma la x en función de y y de z, se considerarán estas dos últimas variables como parámetros, de esta manera:

Calcular la x en ecuaciones de primer grado de dos incógnitas

Esta última expresión es la solución general de la ecuación para la incógnita x. Dando valores diferentes a los parámetros, se obtendrán diferentes soluciones particulares. Por ejemplo, para α = 1 y β = 2, la solución particular será:

Calcular la y y la z en ecuaciones de primer grado de dos incógnitas

En una ecuación de primer grado, el número de parámetros se denomina grados de libertad o grado de indeterminación. En una ecuación lineal con n incógnitas, los grados de libertad serán n – 1.

Otra vía para conocer la solución general en ecuaciones de de primer grado con más de una incógnita, es formar sistemas de ecuaciones lineales con al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son polinomios de segundo grado igualado a cero. El polinomio tiene una variable, cuyo índice mayor debe ser el 2.

Expresión de las ecuaciones de segundo grado

La incógnita es la x. Y a, b y c son los coeficientes. Los coeficientes son números reales. Al coeficiente c se le llama término libre.

Resolver ecuaciones de segundo grado

Resolver ecuaciones de segundo grado es hallar sus raíces o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad.

Una ecuación cuadrática puede tener:

  • Dos raíces
  • Una raíz doble
  • Ninguna raíz

La representación gráfica de una función polinómica de segundo grado es la gráfica de la función cuadrática en forma estándar de la parábola vertical. Si la función la igualamos a cero, tenemos una ecuación cuadrática.

Una raíz de una ecuación, en este caso y si existe, de una ecuación cuadrática, en su gráfica, es el punto, en donde corta al eje X.

Las ramas van hacia arriba si a es positiva y hacia abajo, si a es negativa. El eje de simetría es vertical con ecuación x = -b / 2a.

Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con dos raíces:

Gráfica de una ecuación de segundo grado con dos raíces

La gráfica corta el eje X en dos puntos.

Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con una raíz doble:

Gráfica de una ecuación cuadrática con raíz doble

La gráfica corta el eje X en un punto.

Esta es la gráfica de una ecuación cuadrática sin raíces reales:

Gráfica de una ecuación de segundo grado sin raíces

La gráfica no corta el eje X en ningún punto.

El número de raíces depende del valor del determinante Δ de la fórmula cuadrática.

Ecuaciones cuadráticas completas

En las ecuaciones cuadráticas completas (o ecuaciones de segundo grado completas), los tres coeficientes no son nulos.

Expresión de las ecuaciones cuadráticas completas

Esto son ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas:

Ejemplos de las ecuaciones de segundo grado completas

Porque ninguno de los tres coeficientes son nulos.

Una ecuación de segundo grado puede aparecer de otra manera. A la derecha, estos tres ejemplos están presentados en forma canónica:

Ejemplos en forma canónica de las ecuaciones de segundo grado completas

Fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática proporciona las raíces de una ecuación de segundo grado.

Dada una ecuación de segundo grado completa:

Expresión de un polinomio en cuadrática

Podemos obtener sus raíces con la fórmula cuadrática:

Fórmula cuadrática para ecuaciones de segundo grado

El número de soluciones depende del radical comprendido dentro del radicando de la raíz cuadrada. Se le llama discriminante y se representa con el signo Δ:

Discriminante en la fórmula cuadrática

Cuando el discriminante es positivo, hay dos soluciones diferentes:

Discriminante y soluciones mediante la fórmula cuadrática

Si el discriminante es nulo, hay dos soluciones iguales:

Discriminante nulo en la fórmula cuadrática

Pero si el discriminante es negativo, no hay solución real para ese caso:

Discriminante negativo en la fórmula cuadrática

La fórmula de Muller, poco utilizada, proporciona igualmente las raíces de una ecuación completa de segundo grado:

Fórmula de Muller

Ecuaciones de segundo grado incompletas

En las ecuaciones de segundo grado incompletas, los coeficientes b y c son nulos o bien alguno de los dos.

Recordemos que una ecuación cuadrática completa es de la forma:

Expresión de las ecuaciones cuadráticas completas

Tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas

  • Ecuación cuadrática monomial. No tiene los coeficientes b y c. Su solución siempre es 0.
    Expresión de las ecuaciones cuadráticas incompletas monomiales
  • Ecuación cuadrática pura. El coeficiente b es 0.
    Expresión de las ecuaciones de segundo grado incompletas monomiales

    Las dos raíces se hallan despejando la x:

    Raíces de las ecuaciones de segundo grado incompletas monomiales

    Cuando a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias, porque aparece una cantidad negativa en la raíz cuadrada.

  • Ecuación cuadrática mixta o binomial. El coeficiente c es 0.
    Expresión de las ecuaciones de segundo grado incompletas binomiales

    Las dos raíces se hallan factorizando:

    Raíces de las ecuaciones cuadráticas incompletas binomiales

    Una de ellas siempre es nula:

    Solución nula de las ecuaciones cuadráticas incompletas binomiales

Ecuaciones de grado superior

Son ecuaciones de grado superior o ecuaciones de grado superior a dos las que tienen grado tres o superior. Tienen una incógnita.

Este tipo de ecuaciones se descomponen por factorización. Cada factor se iguala a cero y se resuelve, apareciendo las soluciones.

Sabemos que las soluciones son divisores del término independiente (el coeficiente que no multiplica a la incógnita).

Teorema del factor

El teorema del factor dice:

Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.

El teorema del factor sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Mediante este teorema, se identifican posibles factores en la forma x – a, quedando otros factores de un grado menor. Este proceso se llama factorización.

El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto. Uno lleva al otro.

Al hacer la división:

Dibujo del teorema del factor

Al polinomio se le habrá hecho una primera factorización:

Primera factorización en el teorema del factor

a es una raíz o cero de la correspondiente ecuación polinómica. El otro factor Q(x) es otro polinomio de un grado inferior.

Si se sigue y se llega a la factorización completa del polinomio, también se habrán hallado las n raíces o ceros de esa ecuación polinómica. El número de raíces es igual al grado n del polinomio. Aunque suelen ser números reales, también podrían haber raíces complejas. Pueden haber raíces repetidas.

El producto de todas las raíces es el término independiente del polinomio.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuaciones de grado superior de cuarto grado.

Las que tienen la forma reducida:

Expresión de las ecuaciones bicuadradas

En la que el coeficiente a no puede ser nulo, aunque sí cualquiera de los otros dos coeficientes b y/o c.

Al tener grado cuatro, pueden haber cuatro soluciones reales como máximo. Pero también hay casos de tres, dos, una o ninguna solución real.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Cambio de variable en las ecuaciones bicuadradas

Y se convierten en una ecuación de segundo grado:

Convertir a segundo grado las ecuaciones bicuadradas

Para aplicar, entonces, la fórmula cuadrática (procedimiento más sencillo en segundo grado que la regla de Ruffini).

Supongamos que obtenemos dos soluciones reales z1 y z2. Entonces, las soluciones a la ecuación bicuadrada serían:

Soluciones de las ecuaciones bicuadradas

Pero no siempre se obtienen cuatro soluciones:

  • Si una solución zi = 0, su raíz cuadrada sería 0. zi daría lugar a una única solución.
  • Si la solución zi es negativa, su raíz cuadrada sería un número complejo. zi no proporcionaría soluciones reales.

Una ecuación bicuadrada puede intentar resolverse por la regla de Ruffini, pero debe haber alguna raíz entera. El método del cambio de variable permite hallar las raíces, pese a que algunas raíces no sean enteras.

Ecuaciones tricuadradas

Las ecuaciones tricuadradas tienen grado 6. La forma reducida es:

Ecuaciones tricuadradas

Las incógnitas solamente tienen término en grado 6 y grado 3.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Cambio de variable en las ecuaciones tricuadradas

Y se convierten igualmente en una ecuación de segundo grado:

Ecuación de segundo grado en las ecuaciones tricuadradas

Una vez halladas las soluciones con la fórmula cuadrática, (v1, y v1) se deshace el cambio de variable, apareciendo las raíces de la ecuación tricuadrada:

Raíces de las ecuaciones tricuadradas

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini (o división sintética) es un método que permite hallar las raíces de una ecuación (siempre que estas raíces sean números enteros). Es útil para grados 3 y 4.

Con la regla de Ruffini se puede factorizar un polinomio en factores del tipo (x – ki). A efectos de la regla, los polinomios se igualaran a cero.

Dibujo de la regla de Ruffini

El fundamento de la regla es:

  • Si una ecuación polinómica P(x) = 0, de grado n tuviese raíces enteras, y una de ellas fuese a, se podrá factorizar en forma (x – a)Q(x). Q(x) es de grado n – 1. Con Q(x) se repetiría el proceso, hasta tener completamente factorizada la ecuación polinómica. Los números enteros ki de los n binomios obtenidos en la factorización completa, serán las n raíces de la ecuación polinómica.
  • Cuando se llega a una ecuación de segundo grado, podemos dejar la regla de Ruffini y aplicar las fórmulas conocidas (por ejemplo la fórmula cuadrática).
  • Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).
  • El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x)/(x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

Teorema del resto

El teorema del resto sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Para ello, el resto R de esa división debe de ser cero.

El teorema del resto dice:

Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), el resto R es el resultado de reemplazar en P(x), x por a. El resto será P(a).

En efecto, al hacer la división:

Dibujo del teorema del resto

(Donde Q(x) es el llamado polinomio reducido de grado n – 1).

Y se reemplaza en P(x), la x por a:

Dibujo del teorema del resto reemplazando por a

Se comprueba que el resto es igual a la evaluación del polinomio en a.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor está para saber si a es una raíz del polinomio (un valor de x que lo hace nulo), o lo que es lo mismo, si (x – a) es un factor de P(x). El teorema del factor sería el reverso del teorema del resto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Resolver esta ecuación de primer grado con una incógnita:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Se reducen todos los términos a común denominador. El mínimo común múltiplo de 3, 2 y 5 es 30:

Común denominador del ejercicio 1

Multiplicando todos los términos por 30, se eliminan los denominadores y la igualdad se mantiene:

Eliminar denominadores del ejercicio 1

Se eliminan los paréntesis, multiplicando los factores de cada uno por sus elementos interiores:

Eliminar paréntesis del ejercicio 1

Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo. Una vez agrupados, se opera:

Agrupando términos del ejercicio 1

El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo. Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución:

Solución del ejercicio 1

La solución es 5. Se comprueba el resultado en la ecuación original.

Comprobación de la solución del ejercicio 1

La solución es correcta.

Ejercicio 2

Dada la ecuación de segundo grado completa:

Igualando a 0 en el ejercicio 1

Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.

Solución:

Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:

Fórmula cuadrática en el ejercicio 1

El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:

Solución en el ejercicio 1

Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.

Ejercicio 3

Dada la ecuación de segundo grado completa:

Enunciado del ejercicio 2

a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.

b) Representación gráfica.

Solución:

a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:

Coeficientes del ejercicio 2

El discriminante Δ = 0. La ecuación tiene dos raíces reales e iguales. Resolvamos la fórmula cuadrática:

Resolución del ejercicio 2

Las dos raíces iguales, son 2 y 2.

b) La gráfica es una parábola vertical, dirigida hacia arriba, porque el coeficiente a es positivo. Corta al eje X en un punto:

Gráfica del ejercicio 2

Ejercicio 4

Factorizar este polinomio. Hallar las raíces:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

El polinomio es de grado 4, por lo que se deberán encontrar cuatro raíces.

Las cuatro raíces deberán buscarse entre los divisores del término independiente -12.

Estos son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12.

Empecemos por +1:

Evaluar +1 en el ejercicio 1

Siguiendo el teorema del factor y evaluado en +1, P(1) = 0. Luego tenemos el primer factor x – 1. Y la primera raíz es: +1.

Probemos ahora con -1:

Evaluar -1 en el ejercicio 1

x – (-1) no es factor del polinomio. El resto no es nulo. Y –1 no es una de sus raíces.

Intento con +2:

Evaluar +2 en el ejercicio 1

Resulta P(+2) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la segunda raíz es: +2.

Intento con -2:

Evaluar -2 en el ejercicio 1

Resulta P(-2) = 0. Resto nulo. El binomio x + 2 es factor del polinomio. Y la tercera raíz es: -2.

Prueba con +3:

Evaluar +3 en el ejercicio 1

Resulta P(+3) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la cuarta raíz es: +3.

Aquí se detiene el proceso pues están halladas las cuatro raíces. El polinomio es de cuarto grado.

Al mismo resultado se llega aplicando a las mismas raíces sucesivamente la regla de Ruffini:

Proceso completo en el ejercicio 1

El polinomio factorizado es:

Resultado en el ejercicio 1

Y las raíces o ceros del polinomio son: 1, 2, -2 y 3.

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