Paralelogramo

Paralelogramo

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Dibujo de un paralelogramo

Un paralelogramo es un polígono con cuatro lados (cuadrilátero) siendo éstos iguales y paralelos dos a dos.

Elementos y propiedades del paralelogramo

Dibujo de los elementos del paralelogramo

  • Lados: el paralelogramo tiene cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos (a y b).
  • Ángulos: los ángulos interiores son iguales dos a dos, siendo iguales los ángulos no consecutivos (α y β). Como en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360° (2α + 2β = 360°).
  • Diagonales: en el caso de que las diagonales (D1 y D2) sean perpendiculares, el paralelogramo será un cuadrado o un rombo. Si las diagonales son iguales, es un cuadrado o un rectángulo.

    Sus dos diagonales se pueden calcular mediante la ley del paralelogramo.

Tipos de paralelogramo

Los paralelogramos se clasifican en cuatro clases:

  • Cuadrado: cuadrilátero cuyos lados y ángulos son iguales.
  • Rectángulo: tiene los cuatro ángulos iguales (de 90º) y los lados iguales dos a dos, siendo diferentes los lados adyacentes.
  • Rombo: todos los lados son iguales pero los ángulos son diferentes dos a dos, de manera que los ángulos adyacentes son diferentes y cada ángulo es igual al ángulo no adyacente.
  • Romboide: tiene sus lados y ángulos iguales dos a dos. El romboide también es denominado paralelogramo no regular.
Dibujo de los tipos de paralelogramo

Área del paralelogramo

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Dibujo del área del paralelogramo

Para calcular el área del paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área es el producto de la base y la altura.

Fórmula del área del paralelogramo

Dibujo del área del paralelogramo 2

Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

Esta expresión del área del paralelogramo se corresponde con el módulo del vector producto vectorial de los vectores a y b:

Fórmula del área del paralelogramo por el producto vectorial

Ahora tenemos un paralelogramo, del que se conocen las coordenadas de sus vértices. Si consideramos las componentes de dos vectores (correspondientes a dos lados consecutivos del paralelogramo en el plano coordenado), el área del paralelogramo formado es el valor absoluto del determinante de esos dos vectores columna, será (en un ejemplo):

Fórmula del área del paralelogramo por determinantes

Y el valor del área es (recordando que es el valor absoluto del determinante):

Fórmula 2 del área del paralelogramo por determinantes

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores 2

Perímetro del paralelogramo

El paralelogramo tiene los lados iguales dos a dos. Su perímetro será la suma de los cuatro lados, que es el doble de la suma de los dos lados diferentes.

Dibujo del perímetro del paralelogramo

Fórmula del perímetro del paralelogramo

Ley del paralelogramo

Dibujo del paralelogramo para enunciar la ley del paralelogramo

La ley del paralelogramo enuncia que la suma de los cuadrados de los cuatro lados (dos lados a y dos b) de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales (D1 y D2) de éste. Se puede expresar así:

Fórmula de la ley del paralelogramo

Un caso particular es que el paralelogramo sea un rectángulo, en cuyo caso las dos diagonales son iguales (D1=D2). Entonces, la ley del paralelogramo queda reducida al teorema de Pitágoras.

Método del paralelogramo

El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores.

Dibujo del paralelogramo para enunciar el método del paralelogramo

Primero se dibujan ambos vectores (a y b) a escala, con el punto de aplicación común.

Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos.

El vector suma resultante (a+b) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales.


AUTOR: Bernat Requena Serra

AÑO: 2014


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107 Respuestas

  1. Kathia dice:

    Procedimientos del paralelogramo no en el plano

  2. Kasandra dice:

    Halla la resultante de los vectores
    A=3u
    B=4
    Que forman un ángulo de 90°

  3. santiago dice:

    la ddiagonaal de un palaremogramo mide 42 cm y forman con los lados angulos de 40° y 35° . encuentra la longitud de cada de los laddos

    • Respuestas dice:

      Mira la imagen de la página:
      sen 40° = h / D2 = h / 42
      h = sen 40° * 42
      sen (40° + 35°) = h / a = (sen 40° * 42) / a
      Halla el lado a.
      Dejo que lo termines

  4. Julieta dice:

    Hola buenos días me podrías ayudar, ABCD es un paralelogramo donde CD = 2x + 3; BD = 5x − 4 y perímetro 96 cm, Encuentre Las longitudes de los lados del paralelogramo ABCD.

    • Respuestas dice:

      Si el paralelogramo fuese rectángulo, plantearías dos ecuaciones, la del perímetro y Pitágoras.
      BD² = BC² + CD²
      (5x – 4)² = BC² + (2x + 3)²
      96 = 2(BC + 2x + 3)
      Pero en caso contrario faltan datos

  5. Viviana dice:

    Tengo una duda ¿porqué la altura del paralelogramo es el mismo radio del circulo?

    • Respuestas dice:

      No encuentro sentido a la pregunta. Ni siquiera el círculo inscrito tiene que tener un diámetro 2r igual a la altura.

  6. Gisela dice:

    Ayuda..el punto donde se cortan las diagonales de un paralelogramo representan, a) la mediatriz b) el centro de simetría del paralelogramo c) forma cuatro ángulos rectos?

  7. Daiji dice:

    Buenas me ayuda con este problema los vectores A y B y el vector suma A+B resultante si los modulos de A y S son 8 y 20 unidades respectivamente y alfa 30. Calcule el modulo del vector B y el angulo entre los vectores A y B

    • Respuestas dice:

      Falta un gráfico, por el desconocido vector S.
      Ahora,si el vector S fuese el vector suma:
      La altura del paralelogramo sobre el vector A sería:
      h = |S| sen α = 20 * sen 30° = 20 * 0,5 = 10
      Área del paralelogramo formado = 8 * 10 = 80
      80 = |A| * |B| * sen β
      La proyección de S sobre A es:
      20 * cos 30° = 17,32
      Por triángulos semejantes,la proyección de B sobre A sería 17,32 – 8 = 9,32
      Podemos obtener el módulo de B por Pitágoras. Es la hipotenusa de los catetos 8 y 9,32. Resulta 13,67, que es el módulo de B.
      El ángulo β que forman A y B es:
      β = arctan 10/9,32 = 0,8205 rad. 47,01°

  8. Avril dice:

    Hola, necesito ayuda con un problema, me piden sacar el angulo A, me dan los angulos B y D siendo ambos de 80, por cierto gracias por las demas formulas me ayudaron con otros problemas

    • Respuestas dice:

      Los ángulos interiores de un paralelogramo, como los de todo cuadrilátero ( míralo en UNIVERSO FÓRMULAS) suman 360°.
      Los ángulos A y C medirán cada uno:
      [360° – (80° * 2)] / 2 = 100°

  9. luciano trononi dice:

    hola me podrian ayudar, tengo 1 angulo solo del paralelogramo y es de 45, 23´ y tengo q saber los otros 3

    • Respuestas dice:

      En esta página se dice:
      los ángulos interiores son iguales dos a dos, siendo iguales los ángulos no consecutivos
      Un paralelogramo es un cuadrilátero. Mira Cuadrilátero en UNIVERSO FÓRMULAS, donde se dice:
      Los ángulos interiores del cuadrilátero suman 360°
      Por tanto, el ángulo opuesto lo tienes, es 45° 23′
      Los dos restantes (iguales entre sí) serán:
      [360° – (45° 23) * 2] / 2

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