Octógono

Un octógono es un polígono de ocho lados (L₁, L₂, L₃, L₄, L₅, L₆, L₇ y L₈). Los lados confluyen dos a dos en ocho puntos, llamados vértices.

Elementos del octógono

En un octógono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

• Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 8 vértices.
• Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del octógono y que delimitan su perímetro. Tiene 8 lados.
• Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un octógono convexo hay 20 diagonales (¿por qué hay veinte diagonales?).
• Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 8 ángulos interiores. Los ángulos interiores del octógono suman 1080º (¿por qué suman 1080º?).
• Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 8 ángulos exteriores.

Tipos de octógono

Según las características de los lados y ángulos del octógono, éstos se clasifican en dos tipos:

• Octógono regular: figura geométrica con ocho lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 135º, resultado de dividir 1080º entre 8 ángulos).
• Octógono irregular: figura geométrica cuyos ocho lados y ángulos no son iguales entre sí.

Área del octógono

El cálculo del área de un octógono es diferente dependiendo de si el octógono es regular o irregular.

Área del octógono regular

El área del octógono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro ocho veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Se calcula su apotema con esta fórmula:

Donde α es el ángulo interior del octógono. Así, la fórmula del área del octógono regular se puede expresar así:

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:

Otro procedimiento para hallar el área del octógono regular es a partir del radio de la circunferencia circunscrita. Ese radio R es el segmento que une el centro del octógono con uno de sus vértices.

Área del octógono irregular

El área de un octógono irregular requiere para ser calculada de métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el octógono en ocho triángulos y calcular el área mediante la suma de las ocho áreas de los triángulos.

Se puede calcular el área del octógono irregular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del octógono irregular

Sea P un octógono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el octógono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en ocho triángulos y el área del octógono será la suma del área de esos ocho triángulos.

1. Se divide el octógono en ocho triángulos (T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆, T₇ y T₈) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del octógono y que todos confluyen en un mismo punto interior del octógono.



2. Se miden las alturas (h₁, h₂,…, h₈) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del octógono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.



3. Se calculan las áreas de los ocho triángulos. El área del primer triángulo es:
   

   Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros siete triángulos.

4. Sumamos las ocho áreas y obtenemos el área del octógono irregular:
   

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del octógono: (x₁,y₁), (x₂,y₂),…, (x₈,y₈). La fórmula es la siguiente:

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del octógono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Perímetro del octógono

La fórmula del perímetro del octógono es diferente dependiendo si el octógono es regular o irregular.

Perímetro del octógono regular

El octógono regular tiene sus ocho lados de la misma longitud. Su perímetro es el producto del número de lados (ocho) y la longitud de uno de ellos:

Perímetro del octógono irregular

El octógono irregular es un polígono cuyos ocho lados no son iguales entre sí.

Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus ocho lados.

Ejercicios resueltos

Ejercicio del área del octógono regular

Sea un octógono regular con los ocho lados (N=8) de la misma longitud L=2,3 cm.

La apotema (distancia del centro del octógono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:

Y la apotema es ap=2,78 cm.

Se aplica la fórmula del área del octágono regular:

Y se obtiene que el área es 25,58 cm².

Ejercicio del perímetro del octógono regular

Sea un octágono regular con todos los lados iguales de longitud L=1,2 cm. Su perímetro será el producto del número de lados (ocho) y la longitud de ellos.

Y se obtiene que el perímetro de este octágono regular es de 9,6 cm.

Ejercicio del perímetro de un octógono irregular

Sea un octógono irregular con ocho lados no todos iguales, siendo sus longitudes: L₁=1,6 cm, L₂=2,6 cm, L₃=2,7 cm, L₄=2,4 cm, L₅=1,8 cm, L₆=2,2 cm, L₇=2,3 cm y L₈=2,3 cm.

Su perímetro será la suma de los ocho lados:

Y como resultado se obtiene que el perímetro de este octógono irregular es de 17,9 cm.