Binomios

Los binomios son expresiones algebraicas formadas por dos términos algebraicos o monomios unidos por una suma o una resta.

Un binomio es un polinomio con dos términos.

  1. Ejemplos de binomios
  2. Grado de un binomio
  3. Binomios al cuadrado
  4. Binomios al cubo
  5. Binomios conjugados
  6. Binomio de Newton
  7. Cuatrinomio cubo perfecto
  8. Suma y diferencia de cubos
  9. Binomios con término común
  10. Ejercicios

Ejemplos de binomios

Estos son ejemplos de binomios:

Ejemplos de binomios

Grado de un binomio

  • El grado de un binomio o grado absoluto de un binomio es el grado mayor de sus términos o monomios componentes. Es la mayor de las sumas de los índices de entre sus términos.
    Fórmula del grado de un binomio

    En este caso el binomio tiene un grado absoluto de 7.

  • El grado relativo a una variable de un binomio es el índice mayor de esa variable entre los términos del binomio.

    En el ejemplo anterior, el grado relativo a la variable x es 2, al de la y, 3 y al de la z, 3.

Binomios al cuadrado

Los binomios al cuadrado (o cuadrados de un binomio o binomios cuadrado perfecto), en el caso del cuadrado de una suma del tipo: (a + b)², es igual al cuadrado del primer monomio, más el cuadrado del segundo, más el doble del primero por el segundo.

Fórmula del cuadrado de una suma

De este desarrollo resulta el trinomio cuadrado perfecto, que es un producto notable.

El cuadrado de un binomio es el producto del binomio (a + b) por sí mismo. Y, por la propiedad distributiva de la multiplicación y reduciendo, queda:

Demostración de la fórmula del cuadrado de una suma

Cuando el binomio al cuadrado es el cuadrado de una diferencia (a – b)² el desarrollo cambia en que hay que ponerle el signo menos al doble del primero por el segundo.

Fórmula del cuadrado de una diferencia

Binomios al cubo

Los binomios al cubo (a + b)³ es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Fórmula del binomio suma al cubo

Este desarrollo se llama cuatrinomio cubo perfecto.

El cubo de un binomio se puede escribir así, teniendo en cuenta el desarrollo del binomio al cuadrado:

Demostración 1 del binomio suma

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

Demostración 2 del binomio suma

Se suman términos semejantes y se ordenan los índices:

Demostración 3 del binomio suma

Binomios conjugados

Los binomios conjugados son parejas de binomios cuyos dos términos son iguales pero difieren en que un binomio está unido por el signo más y el otro, por el signo menos.

Dibujo de binomios conjugados

El resultado de multiplicar dos binomios que difieren en un signo (que se conoce también como suma por diferencia), es la diferencia de cuadrados.

Es un caso de productos notables.

El producto de dos binomios conjugados se hace con las reglas de la multiplicación de polinomios. Este es el desarrollo:

Fórmula de la multiplicación de binomios que difieren con un signo

Binomio de Newton

El binomio de Newton, o teorema del binomio es un procedimiento que desarrolla la potencia de un binomio a un índice positivo cualquiera n.

Expresión del binomio de Newton

Al desarrollo del teorema del binomio se puede llegar por dos procedimientos:

  • Con el algoritmo o fórmula que lo desarrolla, llamada teorema generalizado del binomio.
    Desarrollo del binomio de Newton

    Y ésta es la expresión de un número combinatorio que refleja las combinaciones sin repetición de n elementos tomados de k en k. Con un ejemplo:

    Expresión de un número combinatorio
  • Con el triángulo de Pascal, llamado también triángulo de Tartaglia, se obtienen también los coeficientes de cada desarrollo a partir de la fila n + 1 del binomio de Newton (a + b)n.
    Dibujo del triangulo de Pascal

    El triángulo de Pascal es infinito y simétrico. El vértice es un 1. La segunda fila son dos unos. En las filas siguientes, cada número es la suma de los dos de la fila superior, Y así, sucesivamente. (A izquierda y derecha del triángulo hay un cero).

    Por ejemplo, un binomio elevado a la cuarta potencia, obteniendo los coeficientes del triángulo de Pascal:

    Ejemplo del binomio de Newton por el triángulo de Pascal

Cuatrinomio cubo perfecto

El cuatrinomio cubo perfecto tiene dos términos cubos perfectos. Los otros dos términos son el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo y el último, el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo.

Fórmula del cuatrinomio cubo perfecto

El cuatrinomio cubo perfecto es el desarrollo de un binomio al cubo (a + b)³.

Desarrollo del cuatrinomio cubo perfecto

Diferencia de cuadrados

La diferencia de cuadrados (o resta de cuadrados) es un binomio resultado de multiplicar dos binomios conjugados, que se denominan también suma por diferencia.

Fórmula de la suma por diferencia

A partir de una resta de cuadrados se llega a una factorización por binomios conjugados.

Suma y diferencia de cubos

La suma y diferencia de cubos perfectos se puede factorizar en la multiplicación de un binomio por un trinomio:

Fórmula de la suma de cubos

Recordemos que en los cocientes notables podía darse este cociente con la suma de cubos en el numerador:

Cociente con suma de cubos

O, también, con una diferencia de cubos igualmente en el numerador:

Cociente notable con diferencia de cubos

De aquí se deducen estos casos:

  • Suma de cubos: se descompone en el producto de un binomio, suma de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, menos el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
    Fórmula de la suma de cubos
  • Diferencia de cubos: se descompone en el producto de un binomio, resta de las bases, multiplicado por un trinomio, resultante del cuadrado de la primera base, más el producto de las dos bases, más el cuadrado de la segunda base.
    Fórmula de la diferencia de cubos

Una regla mnemotécnica es que en la suma de cubos, el factor binomio también suma y el signo central del trinomio es una resta. Pero en la resta de cubos, el factor binomio igualmente resta y el signo central del trinomio es una suma.

Binomios con término común

Binomios con término común se refiere al producto de dos binomios que tienen un término igual en ambos, siendo el otro término diferente.

Esto serían dos ejemplos de binomios con un monomio en común:

Ejemplos de binomios con término en común

El resultado es el cuadrado del término común, más la suma de los monomios no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes. Como se ve en este desarrollo, el resultado es un trinomio:

Desarrollo de binomios con un monomio en común

Los binomios con los dos monomios en común, pero uno cambiado de signo, serían un producto notable, en concreto suma por diferencia.

Ejercicios

Ejercicio 1

Desarrollar el cuadrado de este binomio:

Enunciado del ejercicio 1 de cuadrado de una suma

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 2

Desarrollar el cubo de estos dos binomios suma:

Enunciado del ejercicio 1 de cubo de un binomio

Solución:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 3

Hacer el producto de estos dos binomios con los monomios unidos con diferente signo:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Invirtiendo los paréntesis, se visualiza que hay una suma por diferencia, que se desarrolla en diferencia de cuadrados:

Solución del ejercicio 2

Ejercicio 4

Desarrollar esta potencia cuarta de un binomio resta con el algoritmo de Newton:

Enunciado del ejercicio 1 del teorema del binomio

Ejercicio 5

Resolver estos productos de binomios conjugados:

Enunciado del ejercicio 1 de binomios conjugados

Solución:

Aplicar que suma por diferencia es la resta de los cuadrados:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 6

Factorizar esta suma de cubos:

Enunciado del ejercicio 1 de suma de cubos

Solución:

Una vez que se ha puesto el binomio como suma de cubos:

Solución 1 del ejercicio 1 de suma de cubos

Se aplica la regla del producto de la suma de las bases por el trinomio descrito:

Solución 2 del ejercicio 1 de suma de cubos

Ejercicio 7

Desarrollar estos productos de binomios con término común:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Utilizando la regla descrita, anteriormente, se obtienen los siguientes desarrollos:

Solución del ejercicio 1

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