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Fracciones

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Fracciones
  1. Numerador
  2. Denominador
  3. Tipos de fracciones
  4. Fracciones propias
  5. Fracciones impropias
  6. Fracciones mixtas
  7. Fracciones irreducibles
  8. Fracciones equivalentes
  9. Fracciones homogéneas
  10. Fracciones heterogéneas
  1. Simplificar fracciones
  2. Comparación de fracciones
  3. Suma de fracciones
  4. Resta de fracciones
  5. Multiplicación de fracciones
  6. División de fracciones
  7. Potencia de una fracción
  8. Convertir una fracción a decimal
  9. Convertir un decimal a fracción
  10. Ejercicios de fracciones

Dibujo de fracciones

Las fracciones expresan partes de una unidad.

Las fracciones (también se llaman números fraccionarios) son el cociente entre dos números enteros, a y b.

Dia a dia estamos utilizando las fracciones. Cuando nos comemos tres cuartos de pizza, cuando compramos media docena de huevos, cuando decimos que dos tercios de la población de una ciudad son mujeres.

Numerador y denominador de una fracción

El denominador (b) indica en cuantas partes se divide una unidad. El denominador es el número de abajo de la fracción.

Dibujo del denominador de una fracción

El numerador (a) es el número de partes de la unidad que se eligen. El numerador es el número de arriba de la fracción.

Dibujo del numerador de una fracción

Tanto el numerador como el denominador pueden ser números positivos o negativos.

El numerador puede ser cero, pero el denominador nunca puede ser cero. El numerador es 0 cuando no se toma ninguna parte.

Ejemplo de numerador y denominador

Ejemplo 1 del numerador y denominador de una fracción

Imaginemos que tenemos una tarta porque es el cumpleaños de nuestra hermana. La dividimos entre seis partes y tomamos dos partes, una para nuestra hermana y otra para vosotros.

El denominador es el número 6, que indica en los trozos que se ha dividido la tarta. El numerador es el 2, que son las partes de la tarta que nos hemos comido.

¿Sabías qué pueden haber fracciones con el numerador o el denominador negativos? Por ejemplo:

Dibujo de fracciones con el numerador o denominador negativo

Es más común encontrarse el numerador negativo que el denominador.

Interpretación de las fracciones

Las fracciones se pueden expresar de las siguientes formas:

  • Como partes de una unidad:

    Por ejemplo: Nos comemos la mitad de una tarta, o nos leemos un cuarto de un libro.

  • Como cociente de dos números

    Por ejemplo: 20 euros a repartir entre 10 personas. La fracción 20/10=2 euros (dibujar) representa la cantidad de dinero que obtendría cada persona.

  • Como fracción de cantidades

    Por ejemplo: sabemos que en una clase de 30 personas, dos tercios de los alumnos son niños. Entonces (2/3)*30=20 (dibujar), hay 20 niños en la clase.

Lectura de fracciones

Primero se lee el numerador como el nombre del número.

Después se lee el denominador, que varía según su número:

  • Si es 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10, se lee respectivamente como: medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos o décimos.
  • Si es mayor que 10, se lee el número del denominador añadiendo al final la terminación -avos.

Vamos a observar en la siguiente tabla como se leerían algunas fracciones:

LECTURA DE FRACCIONES
Fracciones Numerador Denominador Lectura
1/2 1 2 Un medio
2/3 2 3 Dos tercios
4/10 4 10 Cuatro décimos
8/15 8 15 Ocho quinceavos

Tipos de fracciones

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Fracciones propias

Las fracciones propias son aquellas fracciones que el numerador es menor que el denominador.

Dibujo de un ejemplo de fracciones propias

Una fracción propia representa una parte de la unidad, que nunca representa a la unidad. Es decir, si nos comemos una parte de una tarta expresada como fracción propia, siempre nos sobrará tarta.

Dibujo de un ejemplo con una tarta de fracción propia

Estas fracciones también se denominanan fracciones propiamente dichas.

Fracciones impropias

Las fracciones impropias son aquellas donde el numerador (el número de arriba) es mayor o igual al denominador (el número de abajo). Por ejemplo:

Dibujo de tres ejemplos de fracciones impropias

¿Qué quiere decir que nos comemos 3/2 de pizza?

No te puedes comer 3/2 de una pizza, ya que una pizza solo tiene dos mitades. Para comerte 3 mitades de pizza necesitas comerte una pizza entera, que ya serían dos mitades, y la mitad de otra pizza.

Dibujo del ejemplo de las pizzas en fracciones impropias

La fracción impropia siempre es mayor o igual que la unidad (mayor o igual que 1).

La fracción 3/2 hemos visto que era una unidad entera y media de otra. Por tanto, la fracción impropia, se puede expresar como el número de unidades enteras que se tienen y la parte de la última unidad que cogemos, como se ve a continuación.

Equivalencia entre fracciones impropias y fracciones equivalentes

Este tipo de expresión se dice fracción mixta, que es la suma de un número entero y una fracción propia. A cada fracción impropia le corresponde una fracción mixta.

Fracciones mixtas

Las fracciones mixtas (también llamadas números mixtos o fracciones con enteros) son la suma de un número entero y una fracción propia.

Es más fácil ver el significado de la fracción mixta de la siguiente manera. Una fracción mixta es una cantidad de unidades enteras más la parte de otra unidad.

Por ejemplo, imaginemos que en una fiesta y que entre todos los invitados se han comido 7 bocadillos enteros y 1/4 de otro bocadillo. Es decir:

Dibujo de un ejemplo de fracción mixta

Esta cantidad, expresada como fracción mixta, sería:

Fórmula general de las fracciones mixtas

Viendo la definición, está claro que los números mixtos tienen más de una unidad. Por lo tanto, un número mixto (o fracción con enteros) puede expresarse siempre como una fracción impropia, y al revés.

Por ejemplo, en el ejemplo anterior que tenemos 7 bocadillos enteros y un cuarto (en fracción mixta 7 1/4), si contamos los cuartos que hay en total, tendríamos 25. Por lo tanto esta fracción mixta se podría expresar como una fracción impropia con numerador 25 y denominador 4, 25/4.

Paso de ejemplo de una fracción mixta a otra impropia

Fracciones irreducibles

Las fracciones que no se pueden simplificar se llaman fracciones irreducibles.

Esto ocurre cuando el numerador y el denominador no tienen divisores comunes. Es decir, el máximo común divisor (mcd) de los dos términos de la fracción es 1.

Vamos a ver dos casos de fracción irreducible y de fracción no irreducible.

Ejemplo de las fracciones irreducibles

La fracción 5/8 es irreducible ya que 5 y 8 no tienen divisores en común, su mcd es 1.

Ejemplo de fracción no irreducible

En cambio, la fracción 2/14 no es irreducible ya que el 2 y el 14 son divisibles entre 2 al ser pares, así que el 2 es un divisor común.

Fracciones equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte.

Por ejemplo, ¿no es lo mismo comerse media pizza (1/2) que dos cuartos de pizza (2/4)?

Dibujo de dos fracciones equivalentes

En el dibujo vemos como efectivamente, 1/2 y 2/4 representan la misma parte de una pizza, por lo que son fracciones equivalentes.

Fracciones homogéneas

Dos o más fracciones son fracciones homogéneas si tiene el mismo denominador (si el número de abajo de las fracciones es igual).

Dibujo de fracciones homogéneas

En este caso, vemos como las tres fracciones tiene el mismo denominador, 7.

También se puede entender las fracciones homogéneas como fracciones en las que la unidad está dividida en las mismas partes, por eso comparten denominador, como vemos en el siguiente dibujo:

Representación de fracciones homogéneas con denominador 4

Fracciones heterogéneas

Dos o más fracciones son fracciones heterogéneas cuando tiene los denominadores diferentes (si los números de abajo de las fracciones son desiguales).

Dibujo de dos fracciones heterogéneas

En el caso anterior, se observa que las tres fracciones tienen los denominadores diferentes, 11, 2 y 7.

Las fracciones heterogéneas también se pueden entender como fracciones que tienen la unidad dividida en las distintas partes, por eso no comparten denominador.

Simplificar fracciones

Simplificar fracciones es obtener de una fracción otra fracción equivalente cuyos términos (el numerador y el denominador) son menores.

Para la simplificación de fracciones, dividimos el numerador y el denominador por un mismo número (n) distinto de cero, obteniendo una fracción equivalente a la fracción.

Dibujo de como simplificar fracciones

Por ejemplo, queremos simplificar la fracción 2/4. El numerador y el denominador son divisibles por 2. Entonces lo podemos simplificar y dará la fracción 1/2.

Ejemplo de como simplificar una fracción

Si una fracción no se puede simplificar, significa que es una fracción irreducible. En este caso, numerador y denominador no tienen divisores en común.

Amplificación de fracciones

Si se multiplican los dos términos de una fracción a/b (el numerador y el denominador) por un mismo número diferente de cero, se obtiene una fracción equivalente.

Dibujo de como amplificar fracciones

Diremos que la fracción e/f se ha obtenido por amplificación de a/b.

Comparación de fracciones

La comparación de fracciones es estudiar en dos o más fracciones que orden tienen, es decir, ordenarlas según cual sea la que ocupe una mayor parte.

¿Qué es más grande, 3/4 o 2/6?

En el siguiente dibujo las tenemos representadas.

Dibujo de la comparación de fracciones

Vemos claramente que 3/4 es mayor que 2/6, ya que representa una parte más grande.

Existen dos formas de comparar las fracciones. La primera es la visual, si podemos representar las fracciones, como en el caso anterior. Pero lo más común va a ser estudiar la comparación de fracciones mediante métodos numéricos.

Se pueden dar tres casos, según sean los numeradores y denominadores de las fracciones:

  1. Las fracciones tienen igual denominador (fracciones homogéneas).
  2. Las fracciones tienen igual numerador.
  3. Las fracciones tienen diferente denominador y numerador (fracciones heterogéneas).

Operaciones con fracciones

Suma de fracciones

Cuando queremos realizar la suma de fracciones se pueden dar dos casos:

¿Cómo se suman las fracciones? Según el caso en el que estemos, el procedimiento para realizar la suma es diferente. Vamos a ver los dos casos.

Suma de fracciones con el mismo denominador

Para la suma de fracciones con igual denominador (también llamadas fracciones homogéneas), se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Por ejemplo:

Dibujo del ejemplo 1 de la suma de fracciones con el mismo denominador

En este caso, como el denominador es igual, o sea 6, sumamos los dos numeradores 1 y 2.

Cálculo del numerador en el ejemplo 1 de suma de fracciones del mismo denominador

Por lo tanto, el numerador será 3 y el denominador lo dejamos igual, siendo 6.

Dibujo del resultado del ejemplo 1 de la suma de fracciones con el mismo denominador

Este procedimiento es muy sencillo, ¿verdad?

Suma de fracciones con diferente denominador

¿Cómo sumar fracciones con diferente denominador? Se puede hacer por dos métodos, el método del mínimo común denominador para la suma de dos o más fracciones y el método de la multiplicación en cruz para la suma de dos fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Método del mínimo común múltiplo de los denominadores

Lo primero que debemos hacer para sumar fracciones con distinto denominador, es encontrar un denominador común. Para ello, debemos encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones que sumamos. Veámoslo en un ejemplo.

Supongamos que queremos sumar:

Dibujo del ejemplo 1 de la suma de fracciones con diferente denominador por el método mcm

Como las fracciones tienen diferente denominador, necesitamos ponerlas todas en uno mismo. Para ello, hacemos el mínimo común denominador, es decir, el mínimo común múltiplo de los dos denominadores.

  1. Primero factorizamos los dos denominadores: 4 y 3 en factores primos.
    Cálculo de la factorización de los denominadores en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método del mcm
  2. Con la factorización hecha, sacamos el mínimo común múltiplo (mcm) de 4 y 3. Recordamos que el mcm, una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente. En nuestro caso será:
    Cálculo del mcm de los denominadores en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método del mcm
  3. El mínimo común múltiplo de los denominadores es 12. Los denominadores de las nuevas fracciones serán 12 y los numeradores serán el numerador original por 12 dividido entre el denominador original, es decir:
    Cálculo de las fracciones con el mismo denominador en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método del mcm
  4. Ahora tenemos las dos fracciones con el mismo denominador. Podemos hacer la suma de éstas, poniendo en el numerador la suma de los numeradores (3+8=11) y dejando el denominador en 12.
    Cálculo del resultado en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método del mcm

Así conseguimos realizar la suma de fracciones con distinto denominador, que es un poco más complicado que sumar fracciones con igual denominador.

Método de la multiplicación en cruz

El método de la multiplicación en cruz sirve para sumar dos fracciones. En este caso, si las fracciones que se suman tienen los mismos denominadores, se pueden sumar por el método normal de la suma de fracciones con el mismo denominador.

En el caso de que las fracciones tengan diferentes denominadores, es cuando podemos utilizar el método de la multiplicación en cruz.

  1. Imaginemos que queremos sumar las siguientes fracciones:
    Dibujo del ejemplo 1 de la suma de fracciones con diferente denominador por el método de multiplicación en cruz
  2. Para calcular el numerador de la fracción resultado, multiplicamos las fracciones en cruz, es decir, el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el denominador de la primera por el numerador de la segunda, y sumamos las dos multiplicaciones.
    Cálculo del numerador en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método de multiplicación en cruz
  3. El denominador de la fracción resultado será el producto de los dos denominadores: 7 · 5 = 35.
  4. Por lo tanto, el resultado de la suma de estas fracciones será 31/35.
    Cálculo del resultado en el ejemplo 1 de suma de fracciones con diferente denominador por el método de multiplicación en cruz

Resta de fracciones

Cuando se realiza la resta de fracciones, se pueden dar dos casos:

¿Cómo se restan las fracciones? Según los dos casos anteriores, que los denominadores sean iguales o diferentes, utilizaremos uno de los siguientes métodos. Veamos los dos casos.

Resta de fracciones con el mismo denominador

Para la resta de fracciones con igual denominador (también llamadas fracciones homogéneas), se restan los numeradores y se deja tal cual el denominador.

Por ejemplo:

Dibujo del ejemplo 1 de la resta de fracciones con el mismo denominador

En este ejemplo, como el denominador es igual en las dos fracciones, o sea 5, restamos el primer numerador menos el segundo, 6 y 2.

Cálculo del numerador en el ejemplo 1 de resta de fracciones del mismo denominador

El numeradores será 4 y el denominador, como habíamos dicho se quedaba igual, siendo 5.

Dibujo del resultado del ejemplo 1 de la resta de fracciones con el mismo denominador

Resta de fracciones con diferente denominador

¿Cómo se restan dos fracciones que tienen diferente denominador (también llamadas fracciones heterogéneas)? Para realizar la resta, se pueden emplear dos métodos, el método del mínimo común denominador y el método de la multiplicación en cruz, como en la suma de fracciones. El método más utilizado el el del mínimo común denominador.

Multiplicación de fracciones

La multiplicación de fracciones representa la parte de una parte. Veámoslo en un ejemplo:

Carla y Daniela se van a comer una pizza. Daniela corta la pizza en 6 trozos iguales. Carla tiene hambre y le apetece un trozo, pero como los trozos que hay le parecen demasiado grandes, decide cortar uno de los trozos por la mitad.

Dibujo de lo que simboliza la multiplicación de fracciones

El trozo que cogerá Carla será un doceavo (1/12) y se obtiene como el producto de dos fracciones.

Como multiplicar fracciones

El resultado del producto de dos fracciones es otra fracción.

El numerador es el producto de los numeradores y el denominador el de los denominadores:

Dibujo del procedimiento de multiplicación de fracciones

¿Cómo se multiplican las fracciones? El producto de fracciones es muy sencillo, tan solo ha que seguir los pasos siguientes:

Dibujo de un ejemplo para el prodecimiento de multiplicación de fracciones
  1. El numerador de la fracción resultado (el número de arriba) será el producto de los numeradores (el producto de los números de arriba de las fracciones).
    Cálculo del numerador por el procedimiento de la multiplicación de fracciones
  2. El denominador del resultado (el número de abajo) será el producto de los denominadores (los números de abajo de las fracciones que se multiplican).
    Cálculo del denominador por el procedimiento de la multiplicación de fracciones
  3. Una vez tenemos el número de arriba y abajo de la fracción, debemos simplificar la fracción.
    Cálculo del resultado simplificando por el procedimiento de la multiplicación de fracciones

División de fracciones

La división de fracciones, como concepto, es la parte de una parte. Se aprecia mejor en un ejemplo:

Nos queda la mitad (1/2) de una pizza. Queremos darle a cada uno de nuestros invitados una porción de pizza que corresponde a un sexto de pizza (1/6). El número de invitados a los que les podremos dar una porción de pizza se obtiene dividiendo el total de la pizza, 1/2, por la fracción 1/6.

Dibujo de lo que simboliza la división de fracciones

Como dividir fracciones

El resultado del cociente de dos fracciones es otra fracción.

La división de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda. Más fácil, el cociente de dos fracciones se obtiene multiplicando “en cruz” las dos fracciones.

Dibujo de un ejemplo para el prodecimiento de división de fracciones

Vamos a verlo en un ejemplo. Suponemos que queremos hacer la siguiente división:

Ejemplo del procedimiento de la división de fracciones
  1. El numerador de la fracción resultado (el número de arriba) será el producto del numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda. Es decir 2 · 6 = 12.
    Cálculo del numerador por el procedimiento de la división de fracciones
  2. El denominador del resultado (el número de abajo) será el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción. Tendremos que 3 · 1 = 3.
    Cálculo del denominador por el procedimiento de la división de fracciones
  3. Una vez tenemos el número de arriba (numerador) y abajo (denominador) de la fracción, debemos simplificar la fracción.
    Cálculo del denominador por el procedimiento de la división de fracciones

    Obtenemos que el resultado es 4.

Potencia de una fracción

Como sabemos por definición de potencia n, la potencia de una fracción es la multiplicación de esta fracción por sigo mismo n veces.

Esto acaba siendo lo mismo que elevar el numerador y el denominador a dicha potencia n.

Procedimiento para la potencia de una fracción

Esta fórmula se utiliza cuando el exponente (el número n) sea un número entero y positivo. Lo normal será este caso, pero suponiendo que el exponente sea entero, se pueden dar tres casos.

  1. Exponente entero positivo.
  2. Exponente cero.
  3. Exponente entero negativo.

Convertir una fracción a decimal

A cada fracción le corresponde un número decimal, es decir, todas las fracciones tienen una forma decimal.

Pero, ¿cómo convertir fracciones a decimales?

Pasar de fracciones a decimales

Para expresar una fracción en número decimal, lo único que hace falta es dividir el numerador entre el denominador, como haríamos una división de dos números normales.

Según el tipo de número decimal que da la fracción, existen tres tipos de casos:

  1. Fracción decimal exacta
  2. Fracción periódica pura
  3. Fracción periódica mixta

Ejercicio

Convertir la siguiente fracción a decimal:

Fracción para convertir de fracción a decimal en el ejemplo 1

Realizamos una división normal del numerador entre el denominador, es decir 17 entre 4:

División para convertir de fracción a decimal en el ejemplo 1

Se obtiene que el resultado es 4,25 que es un decimal exacto, por lo que la fracción es exacta.

Convertir un decimal a fracción

A cada número decimal le corresponde una fracción. Es decir, los números decimales se pueden expresar siempre como una fracción.

Dibujo de convertir un decimal en fracción

Pasar de un decimal a una fracción es hallar la fracción que genera este número decimal, que es equivalente.

¿Cómo convertir decimales a fracciones?

Existen fórmulas para pasar de un decimal a una fracción, dependiendo del tipo de número decimal. Se diferencian tres casos:

  • Si es un decimal exacto
  • Si es un decimal periódico puro
  • Si es un decimal periódico mixto

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