Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuaciones de grado superior de cuarto grado.

Las que tienen la forma reducida:

Expresión de las ecuaciones bicuadradas

En la que el coeficiente a no puede ser nulo, aunque sí cualquiera de los otros dos coeficientes b y/o c.

Al tener grado cuatro, pueden haber cuatro soluciones reales como máximo. Pero también hay casos de tres, dos, una o ninguna solución real.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Cambio de variable en las ecuaciones bicuadradas

Y se convierten en una ecuación de segundo grado:

Convertir a segundo grado las ecuaciones bicuadradas

Para aplicar, entonces, la fórmula cuadrática (procedimiento más sencillo en segundo grado que la regla de Ruffini).

Supongamos que obtenemos dos soluciones reales z1 y z2. Entonces, las soluciones a la ecuación bicuadrada serían:

Soluciones de las ecuaciones bicuadradas

Pero no siempre se obtienen cuatro soluciones:

  • Si una solución zi = 0, su raíz cuadrada sería 0. zi daría lugar a una única solución.
  • Si la solución zi es negativa, su raíz cuadrada sería un número complejo. zi no proporcionaría soluciones reales.

Una ecuación bicuadrada puede intentar resolverse por la regla de Ruffini, pero debe haber alguna raíz entera. El método del cambio de variable permite hallar las raíces, pese a que algunas raíces no sean enteras.

Veamos estos casos en los ejercicios:

Ejercicios

Ejercicio 1

Dada la ecuación bicuadrada:

Enunciado del ejercicio 1

a) Hallar sus soluciones.

b) Formar la ecuación factorizada.

Solución:

a) Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.

Cambio de variable en el ejercicio 1

Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.

Soluciones de la cuadrática en el ejercicio 1

Dos soluciones positivas. Se deshace el cambio de variable y se hallan las raíces de la ecuación cuadrática.

Deshacer el cambio de variable en el ejercicio 1

Esta ecuación tiene cuatro soluciones reales y distintas.

b) Presentar la ecuación factorizada.

Ecuación factorizada en el ejercicio 1

Ejercicio 2

Solucionar esta ecuación bicuadrada:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.

Cambio de variable en el ejercicio 2

Factorizando, nos facilita la solución.

Factorización en el ejercicio 2

Hay que hallar los valores para hacer 0 cada factor y se cumpla la igualdad.

Anular factores en el ejercicio 2

Dos soluciones positivas. Una de ellas, 0. Se deshace el cambio de variable y se hallan las soluciones de la ecuación cuadrática.

Soluciones en el ejercicio 2

Hay tres soluciones reales distintas.

Ejercicio 3

Solucionar la ecuación bicuadrada:

Enunciado del ejercicio 3

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.

Cambio de variable del ejercicio 3

Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.

Transformación del ejercicio 3

Esta ecuación transformada tiene una solución. Se deshace el cambio de variable y se resuelve.

Soluciones del ejercicio 3

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.

Ejercicio 4

Solucionar la ecuación bicuadrada y factorizar:

Enunciado del ejercicio 4

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.

Cambio de variable del ejercicio 4

Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.

Transformación del ejercicio 4

Esta ecuación transformada tiene dos soluciones. Una de ellas, negativa. Se deshace el cambio de variable y se resuelve.

Soluciones del ejercicio 4

Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas. No se consideran las dos soluciones imaginarias.

Y la ecuación factorizada.

Ecuación factorizada del ejercicio 4

Ejercicio 5

Resolver esta ecuación cuadrática.

Enunciado del ejercicio 5

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.

Cambio de variable del ejercicio 5

Podemos factorizar para facilitar la solución.

Factorización del ejercicio 5

Hay que hallar los valores para hacer 0 cada factor y que se cumpla la igualdad.

Factores nulos del ejercicio 5

Una solución es 0 y la otra, negativa. Se deshace el cambio de variable.

Soluciones del ejercicio 5

Hay una solución real, que es el 0. No se consideran la dos soluciones imaginarias.

Ejercicio 6

Resolver esta ecuación cuadrática.

Enunciado del ejercicio 6

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.

Cambio de variable del ejercicio 6

Al intentar aplicar la ecuación cuadrática, comprobamos que su determinante Δ es negativo. Luego ni la ecuación transformada, ni la inicial cuadrática tienen soluciones reales. Ninguna solución real.

Determinante del ejercicio 6

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