Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuaciones de grado superior de cuarto grado.
Las que tienen la forma reducida:
En la que el coeficiente a no puede ser nulo, aunque sí cualquiera de los otros dos coeficientes b y/o c.
Al tener grado cuatro, pueden haber cuatro soluciones reales como máximo. Pero también hay casos de tres, dos, una o ninguna solución real.
Se resuelven haciendo el cambio de variable:
Y se convierten en una ecuación de segundo grado:
Para aplicar, entonces, la fórmula cuadrática (procedimiento más sencillo en segundo grado que la regla de Ruffini).
Supongamos que obtenemos dos soluciones reales z1 y z2. Entonces, las soluciones a la ecuación bicuadrada serían:
Pero no siempre se obtienen cuatro soluciones:
- Si una solución zi = 0, su raíz cuadrada sería 0. zi daría lugar a una única solución.
- Si la solución zi es negativa, su raíz cuadrada sería un número complejo. zi no proporcionaría soluciones reales.
Una ecuación bicuadrada puede intentar resolverse por la regla de Ruffini, pero debe haber alguna raíz entera. El método del cambio de variable permite hallar las raíces, pese a que algunas raíces no sean enteras.
Veamos estos casos en los ejercicios:
Ejercicios
Ejercicio 1
Dada la ecuación bicuadrada:
a) Hallar sus soluciones.
b) Formar la ecuación factorizada.
Solución:
a) Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.
Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.
Dos soluciones positivas. Se deshace el cambio de variable y se hallan las raíces de la ecuación cuadrática.
Esta ecuación tiene cuatro soluciones reales y distintas.
b) Presentar la ecuación factorizada.
Ejercicio 2
Solucionar esta ecuación bicuadrada:
Solución:
Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.
Factorizando, nos facilita la solución.
Hay que hallar los valores para hacer 0 cada factor y se cumpla la igualdad.
Dos soluciones positivas. Una de ellas, 0. Se deshace el cambio de variable y se hallan las soluciones de la ecuación cuadrática.
Hay tres soluciones reales distintas.
Ejercicio 3
Solucionar la ecuación bicuadrada:
Solución:
Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.
Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.
Esta ecuación transformada tiene una solución. Se deshace el cambio de variable y se resuelve.
Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas.
Ejercicio 4
Solucionar la ecuación bicuadrada y factorizar:
Solución:
Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.
Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.
Esta ecuación transformada tiene dos soluciones. Una de ellas, negativa. Se deshace el cambio de variable y se resuelve.
Esta ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales y distintas. No se consideran las dos soluciones imaginarias.
Y la ecuación factorizada.
Ejercicio 5
Resolver esta ecuación cuadrática.
Solución:
Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.
Podemos factorizar para facilitar la solución.
Hay que hallar los valores para hacer 0 cada factor y que se cumpla la igualdad.
Una solución es 0 y la otra, negativa. Se deshace el cambio de variable.
Hay una solución real, que es el 0. No se consideran la dos soluciones imaginarias.
Ejercicio 6
Resolver esta ecuación cuadrática.
Solución:
Hacer un cambio de variable para convertirla en una ecuación de segundo grado.
Al intentar aplicar la ecuación cuadrática, comprobamos que su determinante Δ es negativo. Luego ni la ecuación transformada, ni la inicial cuadrática tienen soluciones reales. Ninguna solución real.
