Expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, letras que se relacionan con signos de operaciones matemáticas.

Si se conectan dos expresiones algebraicas con el signo igual resulta una ecuación.

El álgebra es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de estas expresiones.

Los signos de las expresiones algebraicas pueden ser sumas, restas, productos, divisiones, potencias o extracción de raíces.

Expresiones algebraicas

Para operar correctamente en una expresión algebraica hay que conocer el orden de las operaciones aritméticas.

  • Realizar las operaciones en los paréntesis (paréntesis, corchetes, llaves) de dentro hacia afuera.
  • Ejecutar las potencias y las raíces.
  • Multiplicar y dividir de izquierda a derecha.
  • Sumar y restar de izquierda a derecha

Veamos un ejemplo de aplicación del orden en las operaciones.

Sobre esta expresión aritmética, se realizan las operaciones en este orden.

Ejemplo del orden de operaciones

Partes de una expresión algebraica

L a manera de escribir una expresión algebraica sigue las reglas de la notación algebraica.

Los componentes esenciales de una expresión algebraica son:

  • Término algebraico: parte de una expresión algebraica formada por un número variable de elementos literales o numéricos unidos por signos de multiplicación o división. Cada término está separado del elemento contiguo por sumas o restas. Los términos que no tienen parte literal en el denominador son monomios:
    Término algebraico de las expresiones algebraicas
  • Incógnitas o variables: Son letras que representan valores numéricos desconocidos:
    Incógnitas de las expresiones algebraicas
  • Parte literal: Son el conjunto de las letras que representan a las incógnitas dentro de cada término. En la parte literal se incluyen los índices de las incógnitas (las potencias, o veces que una variable se multiplica por sí misma).
    Parte literal de las expresiones algebraicas
  • Términos semejantes: En una expresión algebraica, son términos semejantes los que tienen la misma parte literal (las mismas variables con los mismos exponentes cada una).
    Términos semejantes de las expresiones algebraicas

    Una expresión algebraica con términos semejantes se puede simplificar, combinando sus términos semejantes al operar con las sumas o restas de sus coeficientes:

    Simplificación de los términos semejantes de las expresiones algebraicas
  • Coeficientes: Es la parte numérica, de valor fijo y conocido (p.e.: 3 o π). El coeficiente suele ir al principio de cada término y no tiene porqué ser un número entero necesariamente. Si el primer coeficiente no lleva delante signo, se entiende que este es positivo. Se llama coeficiente principal al que afecta al término de mayor grado. El coeficiente que no acompaña a una parte literal se llama término independiente.
    Coeficientes de las expresiones algebraicas
  • Grado absoluto. El grado absoluto de una expresión algebraica es la mayor suma de los exponentes de entre sus términos. En la imagen, el grado absoluto de esta expresión es GA = 7, pues es la suma de los exponentes del término que, en este caso, está en primer lugar. Es mayor que el grado del segundo término, que es 6 = 5 + 1.
    Grado absoluto de las expresiones algebraicas
  • Grado relativo: Es el índice mayor de entre sus variables.
    Grado relativo de las expresiones algebraicas
  • Grado relativo respecto a una variable: Es el índice mayor que afecta a esta variable. En la imagen, el grado relativo respecto a x es 5 (en el segundo término) pero el grado relativo respecto a y es 3 (en el primero).
    Grado relativo respecto de una variable de las expresiones algebraicas
  • Operadores: Los operadores algebraicos básicos son la suma (+), resta (-), multiplicación (·) y división (/ o ÷). Para la multiplicación en álgebra no se usa el operador aritmético x para no confundirlo con la variable equis.
    Operadores de las expresiones algebraicas
  • Valor numérico: El valor numérico de una expresión algebraica es el número resultante de la sustitución de cada variable por un valor concreto, ejecutando las operaciones en el orden indicado arriba. Según el valor que le asignemos a cada incógnita, resultará un valor numérico determinado.
    Valor numérico de una expresión algebraica

Tipos de expresiones algebraicas

Clasificación según las operaciones que afecten a las variables

  • Expresiones algebraicas racionales: son las que sus elementos están unidos por sumas, restas, multiplicación, división y potencias con exponentes enteros.
    • En las expresiones algebraicas racionales enteras además se ha de cumplir que los exponentes sean enteros positivos (números naturales).
    • En las expresiones algebraicas racionales fraccionarias además se ha de cumplir que al menos una variable esté en el denominador, o (lo que es lo mismo) que el exponente en una variable sea entero negativo.
      • En las expresiones algebraicas racionales fraccionarias propias, el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
      • En las expresiones algebraicas racionales fraccionarias impropias, el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
  • En las expresiones algebraicas irracionales, al menos una de las variables tiene que estar bajo el signo del radical o debe de estar afectado por exponente fraccionario.
Tipos de expresiones algebraicas

Clasificación de las expresiones algebraicas racionales enteras, según el número de sus términos

  • Monomios: Son expresiones algebraicas racionales con un solo término. No hay sumas ni restas entre las variables. Se compone de coeficiente y parte literal. Sus elementos están unidos por operadores como el producto, la división o la potencia con exponente natural. El grado de un monomio es la suma de los exponentes de sus variables. El coeficiente puede ser positivo o negativo. Si es el 1 no se escribe.
    Monomios
  • Polinomios: Son expresiones algebraicas racionales que tienen dos o más monomios. Las partes literales pueden contener una o más variables. Según el número de monomios, hay dos tipos de polinomios particulares:

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