En las ecuaciones cuadráticas completas (o ecuaciones de segundo grado completas), los tres coeficientes no son nulos.
Esto son ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas:
Porque ninguno de los tres coeficientes son nulos.
Una ecuación de segundo grado puede aparecer de otra manera. A la derecha, estos tres ejemplos están presentados en forma canónica:
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática proporciona las raíces de una ecuación de segundo grado.
Dada una ecuación de segundo grado completa:
Podemos obtener sus raíces con la fórmula cuadrática:
El número de soluciones depende del radical comprendido dentro del radicando de la raíz cuadrada. Se le llama discriminante y se representa con el signo Δ:
Cuando el discriminante es positivo, hay dos soluciones diferentes:
Si el discriminante es nulo, hay dos soluciones iguales:
Pero si el discriminante es negativo, no hay solución real para ese caso:
La fórmula de Muller, poco utilizada, proporciona igualmente las raíces de una ecuación completa de segundo grado:
Demostración de la fórmula cuadrática
La demostración se basa en completar un trinomio cuadrado perfecto (o el cuadrado de un binomio), que es:
Pues, partiendo de la forma general de una ecuación de segundo grado, se pasa el término independiente a la otra parte de la igualdad y se divide todo por el coeficiente a:
Se le añade a los dos miembros de la igualdad el término necesario para que en el primer miembro quede un trinomio cuadrado perfecto:
En el miembro de la izquierda se ha obtenido el cuadrado de un binomio. Se opera en el miembro de la derecha:
Se extrae la raíz cuadrada de los dos miembros de la igualdad y se despeja la x:
Demostrada la fórmula general de la solución de una ecuación completa de segundo grado, llamada fórmula cuadrática.
Ejercicios
Ejercicio 1
Dada la ecuación de segundo grado completa:
Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
Solución:
Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.
Ejercicio 2
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 0. La ecuación tiene dos raíces reales e iguales. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces iguales, son 2 y 2.
b) La gráfica es una parábola vertical, dirigida hacia arriba, porque el coeficiente a es positivo. Corta al eje X en un punto:
Ejercicio 3
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = -8. Es negativo. La ecuación no tiene dos raíces reales.
b) La representación gráfica es una parábola vertical dirigida hacia arriba, porque a es positivo. No corta el eje X:
El eje de simetría es vertical en:
Ejercicio 4
Se sabe que -1 y 2 son las raíces de una ecuación de segundo grado. Proponer dos ecuaciones que satisfagan estas soluciones.
Solución:
Partiendo de la relación entre los coeficientes y las soluciones, en concreto entre la suma S y el producto P de las raíces, una ecuación cuadrática se puede escribir así:
Dando arbitrariamente al coeficiente a los valores 1 y 2 obtenemos estas dos ecuaciones cuadráticas equivalentes que satisfacen las soluciones propuestas por el ejercicio:
Comprobación del resultado:
Satisfacen las dos ecuaciones.