Resolver ecuaciones es el valor o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad en la ecuación.
Nos centraremos en la resolución de ecuaciones de primer grado (ecuaciones lineales) y ecuaciones de segundo grado (ecuaciones cuadráticas).
- Resolver ecuaciones lineales
- Ejercicios de ecuaciones de primer grado
- Resolver ecuaciones cuadráticas
- Ejercicios de ecuaciones de segundo grado
Resolver ecuaciones lineales
Para resolver ecuaciones lineales con una incógnita:
- Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo.
Cabe remarcar que es igualmente válido hacer la agrupación de la variable a la derecha y de los números a la izquierda, pero nos vamos a centrar en el otro caso.
- Si hay paréntesis, el elemento que multiplica o divide al paréntesis se multiplicará o dividirá por los elementos que hay dentro del paréntesis.
- Cuando hay fracciones, se transforman todos los términos para que tengan un común denominador. Para ello se buscará el mínimo común múltiplo (ver operaciones con fracciones).
En este caso el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 12. Se reduce a común denominador. Operando, se eliminan los denominadores:
- El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo.
- Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución.
- Conviene siempre comprobar la solución, colocándola en la primera ecuación en el lugar de la incógnita.
Una ecuación de primer grado puede tener una solución:
Ninguna:
Ningún valor de x satisface la ecuación.
O admitir cualquier solución:
Esta ecuación, en realidad sería una identidad.
Ejercicio
Resolver esta ecuación de primer grado con una incógnita:
Solución:
Se reducen todos los términos a común denominador. El mínimo común múltiplo de 3, 2 y 5 es 30:
Multiplicando todos los términos por 30, se eliminan los denominadores y la igualdad se mantiene:
Se eliminan los paréntesis, multiplicando los factores de cada uno por sus elementos interiores:
Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo. Una vez agrupados, se opera:
El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo. Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución:
La solución es 5. Se comprueba el resultado en la ecuación original.
La solución es correcta.
Resolver ecuaciones de segundo grado
Resolver ecuaciones cuadráticas es hallar sus raíces o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad.
Una ecuación cuadrática puede tener:
- Dos raíces
- Una raíz doble
- Ninguna raíz
La representación gráfica de una función polinómica de segundo grado es la gráfica de la función cuadrática en forma estándar de la parábola vertical. Si la función la igualamos a cero, tenemos una ecuación cuadrática.
Una raíz de una ecuación, en este caso y si existe, de una ecuación cuadrática, en su gráfica, es el punto, en donde corta al eje X.
Las ramas van hacia arriba si a es positiva y hacia abajo, si a es negativa. El eje de simetría es vertical con ecuación x = -b / 2a.
Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con dos raíces:
La gráfica corta el eje X en dos puntos.
Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con una raíz doble:
La gráfica corta el eje X en un punto.
Esta es la gráfica de una ecuación cuadrática sin raíces reales:
La gráfica no corta el eje X en ningún punto.
El número de raíces depende del valor del determinante Δ de la fórmula cuadrática.
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática proporciona las raíces de una ecuación de segundo grado.
Dada una ecuación de segundo grado completa:
Podemos obtener sus raíces con la fórmula cuadrática:
El número de soluciones depende del radical comprendido dentro del radicando de la raíz cuadrada. Se le llama discriminante y se representa con el signo Δ:
Cuando el discriminante es positivo, hay dos soluciones diferentes:
Si el discriminante es nulo, hay dos soluciones iguales:
Pero si el discriminante es negativo, no hay solución real para ese caso:
La fórmula de Muller, poco utilizada, proporciona igualmente las raíces de una ecuación completa de segundo grado:
Relación entre los coeficientes y las soluciones
A partir de la fórmula cuadrática, si sumamos las soluciones:
Y si hacemos el producto de las soluciones:
En el numerador tenemos dos binomios, suma por diferencia, que es la diferencia de cuadrados. Operamos, simplificamos y nos queda:
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es S = -b/a y el producto P = c/a.
Estas relaciones permiten escribir ecuaciones de segundo grado, partiendo de dos soluciones conocidas x1 y x2, dándole valores reales arbitrarios al coeficiente a:
Si hiciésemos a = 1:
Ejercicios
Ejercicio 1
Dada la ecuación de segundo grado completa:
Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
Solución:
Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.
Ejercicio 2
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 0. La ecuación tiene dos raíces reales e iguales. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces iguales, son 2 y 2.
b) La gráfica es una parábola vertical, dirigida hacia arriba, porque el coeficiente a es positivo. Corta al eje X en un punto:
Ejercicio 3
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = -8. Es negativo. La ecuación no tiene dos raíces reales.
b) La representación gráfica es una parábola vertical dirigida hacia arriba, porque a es positivo. No corta el eje X:
El eje de simetría es vertical en:
Ejercicio 4
Se sabe que -1 y 2 son las raíces de una ecuación de segundo grado. Proponer dos ecuaciones que satisfagan estas soluciones.
Solución:
Partiendo de la relación entre los coeficientes y las soluciones, en concreto entre la suma S y el producto P de las raíces, una ecuación cuadrática se puede escribir así:
Dando arbitrariamente al coeficiente a los valores 1 y 2 obtenemos estas dos ecuaciones cuadráticas equivalentes que satisfacen las soluciones propuestas por el ejercicio:
Comprobación del resultado:
Satisfacen las dos ecuaciones.
Ejercicio 5
Hallar las soluciones, si las hay, de esta ecuación de segundo grado incompleta monomial:
Solución:
Por su estructura, la solución de este tipo de ecuaciones es siempre cero. Veamos:
Ejercicio 6
Hallar las soluciones, si las hay, de estas dos ecuaciones cuadráticas incompletas puras:
Solución:
En ambos casos, se despeja directamente la incógnita:
a) Existen dos soluciones, la positiva y la negativa: +2 y – 2.
b) No hay soluciones reales, porque el radicando es negativo.
Ejercicio 7
Hallar las soluciones, si las hay, de esta ecuación cuadrática mixta o binomial:
Solución:
En estos tipos se factoriza. Siempre, una solución es nula porque hace al primer factor cero. Hay que hallar, pues, el valor que anule al segundo factor:
