Trapecio escaleno

Trapecio escaleno

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Dibujo del trapecio escaleno.

Un trapecio escaleno es un trapecio con bases a y b y sus cuatro ángulos desiguales.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Elementos y propiedades del trapecio escaleno

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio escaleno.

  • Lados: el trapecio escaleno tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y dos oblicuos (c y d).
  • Bases: las bases son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos desiguales (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1234=360º.
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2).
  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:
    Fórmula de la mediana del trapecio

Área del trapecio escaleno

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Dibujo del área del trapecio escaleno

El área del trapecio escaleno se calcula por la fórmula general del área del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Fórmula del área del trapecio escaleno.

También se puede hallar el área del trapecio conociendo sus cuatro lados:

Fórmula segunda del área del trapecio escaleno

Dibujo del área del trapecio escaleno según sus diagonales y el ángulo que forman

El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Así, la formula es:

Fórmula del área del trapecio escaleno según sus diagonales y el ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio escaleno según sus diagonales que forman un ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área del trapecio escaleno según sus diagonales que forman un ángulo recto

Perímetro del trapecio escaleno

Dibujo del perímetro del trapecio escaleno

El trapecio escaleno puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.

Fórmula del perímetro del trapecio escaleno.

Trapecio escaleno inscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio isósceles inscrito en una circunferencia

No pueden inscribirse los trapecios escalenos a una circunferencia. Solamente pueden hacerlo los trapecios isósceles.

Trapecio escaleno circunscrito a una circunferencia

Dibujo de un trapecio escaleno circunscrito en una circunferencia

Para que un trapecio en general y un trapecio escaleno en particular pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:

Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:

Fórmula del radio de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Diagonales del trapecio escaleno

Dibujo de las diagonales de un trapecio escaleno

La longitud de las diagonales del trapecio escaleno se pueden calcular mediante esta fórmula (válida para cualquier tipo de trapecio), a partir de la longitud de los cuatro lados:

Fórmula de las diagonales del trapecio

Construcción de un trapecio

Dibujo de la construcción de un trapecio

Construcción geométrica de un trapecio escaleno cualquiera, a partir de sus cuatro lados.

  1. Trazar el segmento de la base mayor a (QN).
  2. Sobre ella, marcar la longitud de la base menor b (QM).
  3. Con centro en M trazar un arco de radio c.
  4. Con centro en N trazar un arco de radio d.
  5. Estos dos arcos se cortan en el punto O.
  6. Con centro en Q trazar un arco de radio c.
  7. Con centro en O trazar un arco de radio b.
  8. Estos dos arcos se cortan en el punto P.
  9. Uniendo Q,N,O,P,Q queda construido el trapecio.

Obsérvese que Q, M, O, P, Q es un paralelogramo, con cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos. Por lo tanto las bases a y b son paralelas. En consecuencia, hemos construido un trapecio.

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo del ejemplo 3 de trapecio para el cálculo de su área.

Hallar el área de un trapecio escaleno de 7 cm y 3 cm de bases y 4 cm de altura.

Solución:

Aplicamos la fórmula general del área del trapecio:

Cálculo del área del ejemplo 3 de trapecio mediante su fórmula

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 4 de trapecio para el cálculo de su área

Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm. Calcular la longitud de sus diagonales:

Solución:

Se aplica, en primer lugar, la ecuación del área del trapecio, cuando se conocen sus cuatro lados:

Cálculo del área del ejemplo 4 del área de un trapecio

Dibujo de la segunda parte del ejemplo 4 de área de un trapecio

Ahora vamos a averiguar las diagonales.

Mediante las fórmulas que dependen también de los lados:

Fórmula de las diagonales del trapecio

Y aplicamos los valores de los cuatro lados.

En primer lugar se halla la diagonal D1:

Cálculo de la diagonal D1 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Después calcularemos la longitud de la diagonal D2:

Cálculo de la diagonal D2 del ejemplo 4 del área de un trapecio

Ejercicio 3

Dibujo del ejemplo 1 de trapecio

Determinar si se puede circunscribir o inscribir una circunferencia al trapecio escaleno de los ejercicios 1 y 2, cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm :

Solución:

A la primera cuestión: como no es un trapecio isósceles, la respuesta es que no se le puede circunscribir una circunferencia.

Dibujo del trapecio no circunscrito del ejemplo 1 de trapecio

Ahora contestamos a la segunda pregunta. Debemos comprobar la condición de los trapecios inscritos a una circunferencia, o, lo que es lo mismo, circunscribir una circunferencia a un trapecio. La suma de las bases debe de ser igual a la suma de los lados oblícuos:

Fórmula de la condición de un trapecio circunscrito en una circunferencia

Si le aplicamos los valores de los lados a la condición:

Cálculo de la comprobación del ejemplo 1 de un trapecio

Vemos que tampoco se puede inscribir una circunferencia a este trapecio:

Dibujo de la comprobación del ejemplo 1 de trapecio

Ejercicio 4

Dibujo del ejemplo 5 del área de un trapecio

Hallar el área de un trapecio escaleno cuyas diagonales miden 6,71 cm y 4,24 cm. Las diagonales forman entre sí un ángulo de 75,57°.

Solución:

Mediante la fórmula del área por las diagonales y su ángulo, se le aplican los valores y:

Cálculo de la solución del ejemplo 5 del área de un trapecio

Con lo que el área tendrá 13,5 cm2.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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33 comentarios en “Trapecio escaleno”

  1. Tengo un problema con un ejercicio que nos tiene locos, a ver si me ayudais:

    Trapecio escaleno que nos dice que hay que calcular en función de «a» que es la base menor, también nos dicen que la base mayor es 3 veces la menor, y siendo cada lado el derecho en el dibujo, con una pendiente 1/1 y en el otro lado la pendiente 2 H/1V.

    De momento hemos investigado y creo que tenemos que la S= 3a+a/2*h que conlleva a 4a/2*h y que se reduce a 2ah.

    Pero podemos calcular algún tipo de superficie con los taludes, como no nos dan la altura, ni a, se puede hallar de alguna manera o no, para dar un numero, por ejemplo 3 m2 o algo así…

    Se puede aplicar algún teorema, del seno o del coseno….

    Nos trae locos.

    Saludos

    1. El ángulo α3 de pendiente 1/1 es de 45°
      ¿Qué es 2H/1V?
      Entiendo que H debe ser la altura h, pero ¿y V?

  2. ❮Kenfør_ Gacha❱•ツ

    Juliaca, en Puno, es conocida como la Ciudad de los Vientos. Allá se puede volar
    cometas casi todo el año. Los niños construyeron sus cometas según el siguiente
    modelo. Para hacer un diseño perfecto, medirán sus ángulos interiores.
    Hemos nombrado
    cada ángulo con
    una letra.
    Si ya han formado el ángulo D y C que miden 80° y 60°, respectivamente, ¿cuánto
    suman los ángulos A y B?
    a. Respondan
    • ¿Qué forma tendrá esta cometa? .
    . Calcula la suma de los ángulos A y B.

    Los ángulos A y B suman

    1. Las formas de los cometas son variadas.
      Los ángulos interiores de un polígono suman 360°

    1. Universo Formulas

      Gracias, David. Se han cambiado los decimales erróneos, aunque el resultado era correcto.
      Un saludo.

    1. De un trapecio puedes saber el perímetro, que es la suma de sus lados.
      Si es escaleno y sabes sólo tres lados, te faltan datos.

    1. Tienes la fórmula del área de un trapecio cualquiera en función de sus cuatro lados en esta misma página.
      En este caso, tu trapecio es escaleno.
      El área debe ser 15733,66

  3. el problema dice asi: Un trapecio isoceles tiene ángulos iguales de 45 grados, si la longitud de la base mayor es de 20cm y la base menor es de 12cm.
    calcular area y perimetro del trapecio
    ¿como calculo el perimetro con esos datos?

    1. La diferencia de las bases es ab = 20 – 12 = 8 cm.
      A cada extremo de la base mayor a se forman dos segmentos iguales de 8 / 2 = 4 cm.
      Tienes dos triángulos rectángulos iguales cuyas hipotenusas c y d son los dos lados oblicuos iguales. Los dos catetos verticales son la altura del trapecio h.
      Los ángulos entre cateto horizontal de 4 cm y las hipotenusas son de 45°.
      Con esto tienes lados y altura.
      c = 4 / cos 45°
      La altura es de 4 cm, porque al tener los dos triángulos los ángulos agudos de 45° son a la vez rectángulos e isósceles.
      Pero, igualmente h = 4 * tan 45° = 4 cm.
      Resuelto.

    1. Por ejemplo,hallas el área del trapecio en función de sus cuatro lados que tienes en esta página de UNIVERSO FÓRMULAS.
      A partir del área, sacas la altura con la fórmula general:
      Área = h * (a + b)/2

    1. Lender, en pocos dias saldrá la fórmula de la longitud de las diagonales en función de los lados de un trapecio,escaleno en este caso. Con ejercicios resueltos.

    1. Sus cuatro lados o dos bases, un lado oblicuo y un ángulo de un vértice conocido.
      O las dos bases y los dos ángulos de una de las bases.
      O la altura, una base y los dos ángulos de esa base.

  4. Solo tengo el valor de dos ángulos nomás como hago para calcular los otros dos? El total de los dos faltantes me da 271° como puedo saber cuantos grado es para uno y para el otro

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