Las ecuaciones racionales, o ecuaciones fraccionarias, son las que contienen fracciones algebraicas. Al menos en una de las partes de la igualdad, una o más variables están en el denominador.
Estos son ejemplos de ecuaciones racionales:
Cómo resolver ecuaciones con fracciones
Seguir estos pasos:
- Obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.
- Multiplicar todos los términos de la ecuación por el m.c.m. (Recordamos que el m.c.m., una vez hecha la factorización, son los factores comunes y no comunes elevados al máximo exponente).
- Eliminar los denominadores.
- Operar, reduciendo a la ecuación simplificada.
- Resolver esta ecuación, hallar sus raíces.
- Importante, comprobar estas raíces en la ecuación original, por si hubieran soluciones falsas (raíces que anularan alguno de sus denominadores).
En el caso de que hubiera un término a cada parte de la igualdad, un procedimiento más rápido es:
- Multiplicar en cruz.
- Operar, reduciendo a la ecuación simplificada.
- Resolver esta ecuación, hallar sus raíces.
- Comprobar estas raíces en la ecuación original.
Los dos procedimientos se muestran en los ejercicios:
Ejercicios
Ejercicio 1
Resolver esta ecuación fraccionaria:
Solución:
m.c.m. de los denominadores:
Multiplicar los dos términos de la ecuación por el m.c.m. y eliminar los denominadores:
Por productos notables (suma por diferencia) queda en:
Pasando al primer término y reduciendo, queda una ecuación de segundo grado:
Se hallan sus soluciones con la fórmula cuadrática:
Comprobación de estas raíces, 3 y -2, en la ecuación original:
Las dos soluciones se verifican en la ecuación fraccionaria planteada.
Solución simplificada. Como la ecuación racional del ejercicio tiene un término en cada parte de la igualdad, multiplicaremos en cruz:
Haciendo las operaciones se llega a la misma ecuación de segundo grado con las dos soluciones anteriores: 3 y -2.
Ejercicio 2
Resolver esta ecuación fraccionaria:
Solución:
Se pasan los términos a común denominador. El m.c.m. es x-3:
Las soluciones obtenidas son 3 y- 3. Se comprueba en la ecuación fraccionaria original que 3 es una solución falsa que se rechaza, porque anula a los denominadores de la ecuación propuesta. La solución válida es únicamente -3.