Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica, formada por la suma (adición o sustracción) de varios monomios.

Un polinomio puede tener varias variables. Un polinomio de una variable (aquí, la x), es del tipo.

Ejemplo de un polinomio con una variable

En un polinomio, los coeficientes an, an – 1, etc, son números reales, siendo an ≠ 0. Los exponentes n, n – 1, etc. son números naturales.

  1. Ejemplos de polinomios
  2. Elementos de un polinomio
  3. Grado de un polinomio
  4. Tipos de polinomios
  5. Valor numérico de un polinomio
  6. Operaciones con polinomios
  7. Raíces de un polinomio
  8. Factorización de polinomios
  9. Ejercicios

Ejemplos de polinomios

Veamos dos ejemplos de polinomios: uno, con varias variables; otro con una variable:

Ejemplos de polinomios

Elementos de un polinomio

Los elementos que tiene son:

  • Términos de un polinomio. Son los monomios que lo forman, unidos por los signos de sumas o restas.
    Términos de un polinomio

    El término principal es el monomio de mayor grado.

  • Término independiente. Es el que está formado por un elemento numérico no acompañado por ninguna incógnita.
    Término independiente de un polinomio
  • Incógnitas o variables. Son letras que representan valores numéricos desconocidos.
    Incógnitas de un polinomio
  • Coeficientes. Son los elementos numéricos que multiplican a la parte literal de cada término.
    Coeficientes de un polinomio

    El coeficiente principal es el que afecta al término de mayor grado.

    Coeficiente principal de un polinomio
  • El grado de un polinomio es la mayor de las sumas de los índices de entre sus términos.
    Grado de un polinomio como parte

    El grado relativo a una variable de un polinomio es el índice mayor de esa variable entre los términos del polinomio.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio (o grado absoluto de un polinomio es el grado mayor de sus términos o monomios componentes. Es la mayor de las sumas de los índices de entre sus términos.

Fórmula del grado de un polinomio

El grado relativo a una variable de un polinomio es el índice mayor de esa variable entre los términos del polinomio.

Fórmula del grado relativo a una variable de un polinomio

En este polinomio, el grado relativo a x es 4, el relativo a y es 2 y el relativo a la variable z es 3.

Tipos de polinomios

Las tipos de polinomios se pueden establecer según varios criterios.

Tipos de polinomios según el número de términos

Clases de polinomios según el grado

Los polinomios, según su grado se clasifican como:

  • Polinomio de grado 0. Los coeficientes de los monomios con parte literal son 0:
    Ejemplos de polinomios de grado cero
  • Polinomio de primer grado. Los coeficientes de los monomios con parte literal son 0:
    Ejemplos de polinomios de primer grado
  • Polinomio de segundo grado. El término de mayor grado es de grado 2:
    Ejemplos de polinomios de segundo grado
  • Polinomio de tercer grado. El término de mayor grado es de grado 3:
    Ejemplos de polinomios de tercer grado
  • Polinomio de cuarto grado. El mayor grado es 4:
    Ejemplos de polinomios de cuarto grado

Otros tipos de polinomios

  • Polinomio constante. El que no contiene variables en sus términos. Solamente números:
    Ejemplos de polinomio constante
  • Polinomio nulo. Todos los coeficientes son 0. También se denomina 0(x). Es un polinomio constante de valor 0:
    Ejemplos de polinomio nulo
  • Polinomio homogéneo. Todos sus términos o monomios tienen el mismo grado:
    Ejemplos de polinomio homogéneo
  • Polinomio heterogéneo. Los grados de sus términos no son iguales:
    Ejemplos de polinomio heterogéneo
  • Polinomio completo. Tiene todos los términos, desde el de mayor grado de la variable hasta el término independiente:
    Ejemplos de polinomio completo
  • Polinomio incompleto. Sus términos no contienen todos los grados de la variable, desde el mayor hasta el término independiente:
    Ejemplos de polinomio incompleto
  • Polinomio ordenado. Sus términos o monomios se suceden de mayor a menor grado:
    Ejemplos de polinomio ordenado

    Estos dos ejemplos son de polinomios ordenados incompletos.

    En un polinomio ordenado en forma creciente o ascendente, los exponentes de la variable están de menor a mayor grado:

    Ejemplos de polinomio ordenado de forma creciente
  • Polinomios iguales. Los polinomios son del mismo grado y, además, los coeficientes de los términos con la misma parte literal coinciden también:
    Ejemplos de polinomios iguales

Valor numérico de un polinomio

El valor numérico de un polinomio o de cualquier expresión algebraica es el resultado obtenido cuando se sustituye su variable por un valor determinado y realizar las operaciones indicadas. En el caso de polinomios con varias variables, su valor numérico se obtendrá a partir de los valores asignados a cada una de ellas y hacer las operaciones.

El valor numérico de este polinomio, para x = 2 es:

Valor numérico de un polinomio con una variable

El valor es veinticinco (25).

Y el valor numérico de este polinomio con dos variables, para x = 1, y = 2, es:

Valor numérico con dos variables

En este caso, el valor numérico es uno (1).

Operaciones con polinomios

Suma de polinomios

La suma de polinomios es otro polinomio resultado de reducir sus términos semejantes presentes en los polinomios sumandos.

En esos términos semejantes, se suman los coeficientes y se deja la parte literal.

El grado del polinomio suma es igual al del polinomio sumando de mayor grado.

Cómo sumar polinomios

Hay dos dos procedimientos: sumar en fila y sumar en columna o forma vertical.

  • Sumar en fila:

    Sumar en fila o en horizontal polinomios consiste en:

    1. Ordenar los polinomios de mayor a menor grado y escribirlos sucesivamente encerrados entre paréntesis unidos por el signo más.
    2. Agrupar los términos semejantes (misma parte literal).
    3. Reducir los términos semejantes, sumando aritméticamente sus coeficientes.
      Suma de los polinomios en filas
  • Sumar en columna o forma vertical:

    Sumar en columna polinomios consiste en:

    1. Ordenar los polinomios de mayor a menor grado. Colocar un polinomio debajo del anterior.
    2. Si en algún polinomio es incompleto y falta algún termino de algún grado, los polinomios se escribirán de manera que en cada columna coincidan los términos semejantes de cada uno.
    3. Sumar los monomios semejantes. El polinomio suma será la fila inferior.
      Suma de los polinomios en columnas

Resta de polinomios

En la resta de polinomios (o sustracción de polinomios), se suma al polinomio minuendo el opuesto al polinomio sustraendo. Para ello, al segundo polinomio se le cambian los signos de todos sus términos:

Lo veremos en este ejemplo:

Ejemplo

Realizar la resta de estos polinomios:

Enunciado del ejemplo 1

Solución:

Obtendremos el opuesto del polinomio sustraendo Q(x). Y procederemos a la suma en columna, o en vertical. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:

Solución del ejemplo 1

Multiplicación de polinomios

La multiplicación de polinomios es otro polinomio resultado de la suma de cada una de las posibles multiplicaciones de monomios obtenidas, multiplicando cada monomio del primer polinomio por cada monomio del segundo polinomio. En el proceso, hay que tener en cuenta los signos.

Después de estos productos, se reducen los monomios semejantes.

Esta multiplicación cruzada de los monomios de cada polinomio factor se puede realizar por dos procedimientos: multiplicación en fila y multiplicación en columna o forma vertical.

En la multiplicación en fila se van colocando en fila cada combinación sucesiva de multiplicación de monomios, con su signo resultante, reduciendo luego los monomios semejantes.

En la multiplicación en columna:

  • Se coloca en el nivel superior el polinomio más largo, si lo hay y, debajo, el segundo polinomio factor.
  • Debajo de una línea horizontal, en una primera fila se sitúan los monomios producto del primer término del producto inferior por cada uno de los del polinomio factor superior.
  • Se repite la operación en el término siguiente del polinomio factor inferior, colocando cada monomio resultante de manera que se formen columnas de monomios semejantes.
  • Debajo de otra línea horizontal, se colocan los monomios resultantes de la simplificación de cada columna de monomios semejantes.

División de polinomios

La división de polinomios (o división polinómica, o división polinomial), de un polinomio P(x) por otro Q(x) requiere que Q(x)  0 y que el grado de P(x) sea igual o mayor que el de Q(x).

Si la división es exacta, se cumplirá:

Fórmula de la división de polinomios exacta

Cuando la división no es exacta, aparecerá al final del procedimiento otro polinomio llamado resto o resíduo R(x) y escribiremos indistintamente:

Fórmula de la división polinómica no exacta

El dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

La imagen convencional de una división aritmética trasladada a la división polinómica sería:

Fórmula de la división polinomial convencional

Raíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x) son los valores numéricos xi tal que P(xi) = 0.

Cada raíz de un polinomio se obtienen al resolver la ecuación P(x) = 0.

Propiedades de las raíces de un polinomio

  • Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces.
  • Si xi es una raíz del polinomio, éste será divisible por (x – xi).
    Propiedad de divisibilidad en las raíces de un polinomio
  • Halladas todas las raíces, el polinomio se puede factorizar así:
    Propiedad de factorización en las raíces de un polinomio
  • Las raíces de un polinomio son divisores de su término independiente.
  • Si un polinomio no tuviera término independiente, al menos una raíz será cero, porque x es un factor común. Aquí tenemos un polinomio con una raíz cero y otro con dos raíces nulas:
    Propiedad del factor común
  • El polinomio que no tiene raíces enteras se llama polinomio irreductible o primo.

Hallar las raíces de un polinomio

Cómo resolver polinomios:

Dado un polinomio de segundo grado, se iguala a 0:

Expresión de un polinomio en cuadrática

Y la fórmula cuadrática proporciona sus raíces:

Fórmula cuadrática para ecuaciones de segundo grado

Para polinomios de grado superior utilizar el teorema del resto y la regla de Ruffini (o división sintética) para hallar las posibles raíces enteras.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor que es el reverso del teorema del resto.

Factorización de polinomios

La factorización de polinomios es convertir un polinomio en un producto de polinomios irreducibles (Un polinomio irreducible es el que solamente se puede dividir por sí mismo o por un polinomio nulo).

Si un polinomio tiene una raíz x1 se puede factorizar en:

Factorización de polinomios sabiendo una raíz

Si el polinomio factor resultante Q(x) tiene, a su vez, otra raíz x2 se puede seguir factorizando:

Factorización de un polinomio sabiendo dos raíces

En general, un polinomio de grado n, con n raíces, se puede factorizar así:

Factorización de un polinomio de n raíces

Procedimientos de factorización

1. Factor común

Existe una expresión algebraica, con parte literal o no, que se repite como factor en cada término del polinomio, y que se toma como factor común del polinomio. (Especialmente, si no hay término independiente):

Factor común de un polinomio

2. Factorizar por grupos

Un polinomio que se pueda dividir en grupos de igual número de monomios, en los que, al factorizarlos, se obtenga un polinomio repetido en todos los grupos. Y este polinomio repetido, a su vez, será factor común. Se habrá sacado factor común dos veces. Como en este ejemplo:

Factorización por grupos

Y x -3 es el polinomio repetido.

Ejercicios

Ejercicio 1

Realizar la suma de estos tres polinomios con dos variables.

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Por mayor sencillez, haremos la suma en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x), dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 2

Realizar la resta de estos polinomios con dos variables.

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Haremos la resta en columna, o en vertical. La mecánica es la misma que con una variable. Los polinomios ordenados de índice mayor a menor respecto a una de las variables (aquí tomamos la x) dejando los huecos oportunos para que en cada columna hayan términos semejantes:

Solución del ejercicio 1

Ejercicio 3

Realizar la multiplicación de estos dos polinomios, mediante la multiplicación en fila y en columna (o vertical):

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

La mecánica, en primer lugar, se realizará como en el ejercicio anterior, es decir, multiplicación en fila:

Multiplicación en fila en el ejercicio 2

Se simplifican los monomios semejantes, y se ordena el polinomio resultante:

Simplificando en el ejercicio 2

Realizando la misma operación mediante la multiplicación en columna o forma vertical, se comprueba que se llega al mismo resultado:

Solución en el ejercicio 2

Ejercicio 4

Realizar esta división polinomio entre polinomio:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Se puede realizar la división por que el dividendo no es nulo y su grado no es superior al del dividendo.

Los dos polinomios están ordenados. El dividendo es un polinomio incompleto, porque le falta el término de tercer grado. En su lugar se dejará un espacio en blanco.

Procedemos a realizar los pasos de la división larga, dividiendo en cada etapa, el término de mayor grado del dividendo (3x4) y de los restos sucesivos por el término de mayor grado del divisor (x²):

Ordenamos términos del ejercicio 1

Se ha finalizado el procedimiento llegando a un resto nulo. La división es exacta. El polinomio dividendo se puede descomponer en dos factores:

Resultado del ejercicio 1

Ejercicio 5

Realizar las operaciones entre polinomios indicadas en esta expresión algebraica:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Están implicadas operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre polinomios, que se efectuarán de manera similar a las operaciones aritméticas:

  • En primer lugar, se realizará la multiplicación entre los dos polinomios encerrados entre paréntesis. El sistema empleado será en forma vertical:
    Primera multiplicación del ejercicio 1

    La expresión se habrá quedado reducida a:

    Expresión reducida 1 del ejercicio 1
  • A continuación se suman los dos polinomios del numerador de la fracción. Por el procedimiento igualmente de suma vertical:
    Primera suma del ejercicio 1

    Quedándose la expresión en:

    Expresión reducida 2 del ejercicio 1
  • El paso siguiente es realizar la división. (Recordemos que similar a la división aritmética)
    Primera división del ejercicio 1

    La división es exacta.

  • Para terminar, se restan los dos polinomios resultantes de los pasos anteriores, siguiendo con el procedimiento en columna o en vertical:
    Primera resta del ejercicio 1

    Quedando:

    Solución de la primera resta del ejercicio 1

El polinomio resultante de realizar las operaciones entre polinomios indicadas en la expresión algebraica propuesta es:

Solución del ejercicio 1

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