Teorema del resto

El teorema del resto sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Para ello, el resto R de esa división debe de ser cero.

El teorema del resto dice:

Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), el resto R es el resultado de reemplazar en P(x), x por a. El resto será P(a).

En efecto, al hacer la división:

Dibujo del teorema del resto

(Donde Q(x) es el llamado polinomio reducido de grado n – 1).

Y se reemplaza en P(x), la x por a:

Dibujo del teorema del resto reemplazando por a

Se comprueba que el resto es igual a la evaluación del polinomio en a.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor está para saber si a es una raíz del polinomio (un valor de x que lo hace nulo), o lo que es lo mismo, si (x – a) es un factor de P(x). El teorema del factor sería el reverso del teorema del resto.

Ejercicio

Por el teorema del resto, hallar el resto o residuo resultante de dividir este polinomio por x + 3. Comprobar el resultado por Ruffini.

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Tener en cuenta que en el formato del teorema, el binomio divisor es x – a, por lo que en este caso, equivaldrá a x – (-3).

Según el teorema del resto, se evalúa el polinomio en -3.

Resultado del ejercicio 1

Comprobación por la regla de Ruffini:

Comprobación del ejercicio 1

El resto vale 84 y P(-3) = 84.

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