Área de un paralelogramo

Área de un paralelogramo

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Dibujo del área de un paralelogramo

Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura.

Fórmula del área de un paralelogramo

Dibujo del área del paralelogramo 2

Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

Esta expresión del área del paralelogramo se corresponde con el módulo del vector producto vectorial de los vectores a y b:

Fórmula del área del paralelogramo por el producto vectorial

Ahora tenemos un paralelogramo, del que se conocen las coordenadas de sus vértices. Si consideramos las componentes de dos vectores (correspondientes a dos lados consecutivos del paralelogramo en el plano coordenado), el área del paralelogramo formado es el valor absoluto del determinante de esos dos vectores columna, será (en un ejemplo):

Fórmula del área del paralelogramo por determinantes

Y el valor del área es (recordando que es el valor absoluto del determinante):

Fórmula 2 del área del paralelogramo por determinantes

Igualmente, se puede calcular el área por determinantes a partir de las coordenadas de tres de sus vértices:

Fórmula del área del paralelogramo por determinantes sabiendo tres vértices

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Fórmula del área del paralelogramo por los ángulos interiores 2

Ejercicio 1

Dibujo de un ejemplo de paralelogramo para el cálculo de su área

Sea un paralelogramo que tiene como base uno de sus lados con longitud b = 3 cm.

Se mide la altura (h) asociada a la base y se obtiene que h = 2 cm.

Sabiendo la base y la altura, se calcula el área del paralelogramo mediante su fórmula:

Cálculo del área del paralelogramo en un ejemplo

Y se obtiene que el área del paralelogramo es de 6 cm2.

Ejercicio 2

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De un paralelogramo, conocemos sus lados a = 6,80 cm, b = 4 cm y el ángulo que forma la diagonal mayor con un lado menor, que es de 30°. Con estos datos, hallar el área de este paralelogramo.

Dibujo del ejemplo 2 de paralelogramo para el cálculo de su área

Nos centramos en el triángulo ΔA’B’D2, formado por la diagonal mayor D2 y los dos lados del paralelogramo.

Se halla el ángulo del vértice B’ aplicando la ley del seno:

Cálculo del ángulo del vértice en el ejemplo 2 de área de un paralelogramo

Como los tres ángulos de un triángulo suman 180°.

Cálculo de los ángulos del triángulo en el ejemplo 2 de área de un paralelogramo

Con este dato, se puede hallar la altura h del paralelogramo referida a su lado b.

La altura h y el lado a están relacionadas con en seno del ángulo D2. Usamos este ángulo para mayor claridad visual, aunque los senos de los angulos suplementarios son iguales, es decir, sen 132,9° = sen 47,1°.

Dibujo 2 del ejemplo 2 de paralelogramo para el cálculo de su área

Hallamos la altura h:

Cálculo de la altura en el ejemplo 2 de área de un paralelogramo

Ya se puede calcular el área del paralelogramo:

Resultado en el ejemplo 2 de área de un paralelogramo

El área de este paralelogramo mide 19,92 cm2.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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96 comentarios en “Área de un paralelogramo”

  1. Ayuda por favor

    Un cuadrado equivale a un rectángulo en el que la suma de las dimensiones mide 60 cm y una es 1/9 de la otra. Calcular el perímetro del cuadrado.

    B+h=60
    B,= 1h/9
    Dónde h=54. B=6

    Allí me quedé ayúdenme en mi tarea

    1. Área rectángulo = 54 • 6 = 324 cm²
      Área cuadrado = 324 = a²
      Perímetro cuadrado = 4a

  2. un cuadrado equivale a un rectángulo en el que la suma de las dimensiones mide 60 cm y una y 1/9 de la otra. Calcula el perímetro del cuadrado.

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