Área de un paralelogramo

Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura.

Otro procedimiento para hallar el área del paralelogramo sabiendo la longitud de dos lados no opuestos entre sí (a y b) y el ángulo que forman estos (sea α o β):

sen α = sen β porque son ángulos suplementarios.

Esta expresión del área del paralelogramo se corresponde con el módulo del vector producto vectorial de los vectores a y b:

Ahora tenemos un paralelogramo, del que se conocen las coordenadas de sus vértices. Si consideramos las componentes de dos vectores (correspondientes a dos lados consecutivos del paralelogramo en el plano coordenado), el área del paralelogramo formado es el valor absoluto del determinante de esos dos vectores columna, será (en un ejemplo):

Y el valor del área es (recordando que es el valor absoluto del determinante):

O, también, a partir de las dos diagonales y el ángulo que forman:

Ejercicio 1

Sea un paralelogramo que tiene como base uno de sus lados con longitud b=3 cm.

Se mide la altura (h) asociada a la base y se obtiene que h=2 cm.

Sabiendo la base y la altura, se calcula el área del paralelogramo mediante su fórmula:

Y se obtiene que el área del paralelogramo es de 6 cm².

Ejercicio 2

De un paralelogramo, conocemos sus lados a = 6,80 cm, b = 4 cm y el ángulo que forma la diagonal mayor con un lado menor, que es de 30°. Con estos datos, hallar el área de este paralelogramo.

Nos centramos en el triángulo ΔA’B’D₂, formado por la diagonal mayor D₂ y los dos lados del paralelogramo.

Se halla el ángulo del vértice B’ aplicando la ley del seno:

Como los tres ángulos de un triángulo suman 180°.

Con este dato, se puede hallar la altura h del paralelogramo referida a su lado b.

La altura h y el lado a están relacionadas con en seno del ángulo D₂’. Usamos este ángulo para mayor claridad visual, aunque los senos de los angulos suplementarios son iguales, es decir, sen 132,9° = sen 47,1°.

Hallamos la altura h:

Ya se puede calcular el área del paralelogramo:

El área de este paralelogramo mide 19,92 cm⊃2.