En las ecuaciones irracionales o ecuaciones con radicales, la incógnita figura en el radicando (bajo un signo radical).
Son ecuaciones con radicales:
Consideramos aquí básicamente las raíces cuadradas.
Se resuelven aislando en un miembro de la igualdad el término o los términos que contengan raíz.
Elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación.
Si continúa habiendo un término con radical, se repite el proceso de aislarlo a una parte de la igualdad y elevar al cuadrado los dos miembros. Hasta que desaparezcan los radicales.
Resolver la ecuación.
Aquí hay que considerar que se ha aumentado el grado de la ecuación, por lo que pueden aparecer soluciones que no satisfagan la ecuación irracional inicial. Por eso, siempre hay que comprobar si cumplen la ecuación con radicales original y descartar las que no la cumplan.
Veamos un caso con soluciones no válidas:
La solución 0 no cumple, no es válida. La solución 3 es la solución racional única de esta ecuación con radicales.
Ejercicios
Ejercicio 1
Resolver esta ecuación irracional sencilla:
Solución:
Aislar el término con la raíz:
El índice de la raíz es 3. Elevaremos los términos de la ecuación al cubo:
Obteniendo la solución única de -27. Comprobamos que la raíz cúbica de -27 es -3.
Ejercicio 2
Resolver esta ecuación irracional:
Solución:
Después de aislar el término con la raíz, se elevan ambos términos al cuadrado. El segundo término es el cuadrado de un binomio:
Operando se pasan los términos al primer miembro. Queda una ecuación de segundo grado.
Que se resuelve con la fórmula cuadrática:
Aparecen dos soluciones: 37/4 y 7. Se comprueba si satisfacen la ecuación con radicales propuesta en el ejercicio.
37/4 no satisface la ecuación. Comprobemos con la otra solución de la ecuación cuadrática, el 7:
7 satisface la ecuación. Es la solución buscada.
Ejercicio 3
Resolver esta ecuación irracional:
Solución:
Se pasa el segundo término con radical al otro miembro de la ecuación:
Elevar ambos miembros al cuadrado. El segundo miembro será el cuadrado de un binomio, que desarrollamos, dejando después el término con radical aislado en un miembro de la igualdad:
Se repite elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical que ha quedado. En el segundo miembro se ha formado el cuadrado de otro binomio, que se desarrolla:
De la ecuación de segundo grado obtenida, se hallan sus raíces con la fórmula cuadrática:
Las raíces son 866/49 y 2. Hay que comprobar si son soluciones de la ecuación irracional del ejercicio:
2 satisface la ecuación y es la única solución a la ecuación del ejercicio.