Trapecio rectángulo

Trapecio rectángulo

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Dibujo del trapecio rectángulo.

Un trapecio rectángulo es un trapecio con bases a y b y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Elementos y propiedades del trapecio rectángulo

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio rectángulo.

  • Lados: un trapecio rectángulo tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b), uno perpendicular a los dos paralelos (c) y el otro oblicuo (d).
  • Bases: las bases del trapecio rectángulo son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos, dos ángulos rectos (de 90º) y los ángulos α1 y α2. Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?).
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b). La altura coincide con el lado c.
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2).

    Las fórmulas de las diagonales de cualquier trapecio, conociendo sus cuatro lados, son:

    Fórmula de las diagonales del trapecio

    Aunque en el caso del trapecio rectángulo basta el teorema de Pitágoras para hallar sus diagonales.

  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:
    Fórmula de la mediana del trapecio

¿Cuánto mide cada ángulo?

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Si se conocen los lados c y d se podrán hallar los ángulos no rectos α1 y α2, independientemente de la longitud de sus bases paralelas a y b .

Fórmula de para calcular los ángulos interiores del trapecio rectángulo

Porque en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360°.

Área de un trapecio rectángulo

Dibujo del área del trapecio rectángulo.

El área del trapecio rectángulo se calcula a partir de la fórmula general del área del trapecio. En este caso, a partir de las bases (a y b) y del lado c. Es el resultado de multiplicar su altura (el lado c) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Fórmula del área del trapecio rectángulo.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

El área del trapecio rectángulo se puede obtener también con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Así, la fórmula es:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales formando ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales con ángulo recto

Perímetro del trapecio rectángulo

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo.

El trapecio rectángulo puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.

Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo.

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo

Puede hallarse también el perímetro de un trapecio rectángulo en función los lados a, b y c.

Mediante el teorema de Pitágoras:

Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo 2

Trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito en una circunferencia

Para que un trapecio rectángulo pudiera circunscribirse a una circunferencia, debería cumplirse la condición general a toda clase de trapecios de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debería ser igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados:

Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Ejercicio

Conocemos de un trapecio rectángulo la base mayor, que mide 12 cm, el lado oblicuo, 10 cm y el ángulo de 53,13° que forman ambos lados.

Dibujo del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con estos datos: a) hallar el perímetro del trapecio, b) su área, c) la longitud de las diagonales, d) los ángulos que forman estas diagonales y e) determinar si se puede circunscribir a una circunferencia.

Solución:

Dibujo de los lados del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

a) Hallamos en primer lugar el lado vertical c y la proyección de b trigonométricamente.

Aplicamos las fórmulas del seno y coseno:

Cálculo para hallar c en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Ahora para hallar la base superior, calculamos trigonométricamente la proyección del lado d sobre la base a.

Como sabemos del triángulo formado la hipotenusa de 10 cm y el cateto c de 8 cm, obtendremos el cateto de la base, (12 – b) al que llamaremos x:

Cálculo del cateto x en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con lo que podremos saber la base superior b.

Cálculo de la base b en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con los cuatro lados, se halla el perímetro:

Cálculo del perímetro en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Tenemos la primera respuesta, el perímetro mide 36 cm.

b) El área la hallamos por la fórmula general del trapecio, pues sabemos las dos bases y la altura:

Cálculo del área en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

El área del trapecio es de 72 cm2.

c) La longitud de las diagonales las hallamos directamente por el teorema de Pitágoras:

Dibujo de la longitud de las diagonales del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Obtenemos las dos diagonales, que son dos hipotenusas:

Cálculo de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

d) Los ángulos que forman las diagonales los obtenemos de las fórmulas del área en función de las diagonales y los dos ángulos suplementarios que forman:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y el ángulo que forman

Y sustituimos valores en la fórmula:

Cálculo de los ángulos de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Que son los dos ángulos de las diagonales buscados.

c) Para saber si se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia, basta con comprobarlo con la igualdad correspondiente:

Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Aplicamos los valores de los lados y comprobamos:

Cálculo de la comprobación de si está circunscrito en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia.

Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

AUTOR: Bernat Requena Serra


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97 comentarios en “Trapecio rectángulo”

  1. Trapecio rectángulo

    Quiero dividirlo en 2 superficies iguales mediante una línea recta, con un condicionante:
    1. La línea recta de partición debe ser paralela a las bases.

    Dime cómo lo puedo resolver gráfica y analíticamente.

    Gracias,

    1. Las dos superficies iguales son dos trapecios rectángulos.
      Considera el superior, que tendría de base un segmento al que llamamos x, que divide al lado perpendicular diferente c en dos, c1 y c2.
      c2 es la altura del nuevo trapecio superior.
      El área de ese trapecio (y la del otro también) es (a + b) * c / 4, que la puedes dividir en la suma del área de un rectángulo y de un triángulo.
      Fácilmente puedes poner esa relación en función de c2.
      (a + b) * c / 4 = c2 * b + (c2)2 / 2tanα2
      Conociendo las dimensiones a, b y c y el ángulo α2, puedes saber a qué distancia de la base superior c2 se traza el segmento paralelo a las bases x

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