Trapecio rectángulo

Trapecio rectángulo

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Dibujo del trapecio rectángulo.

Un trapecio rectángulo es un trapecio con bases a y b y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Elementos y propiedades del trapecio rectángulo

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio rectángulo.

  • Lados: un trapecio rectángulo tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b), uno perpendicular a los dos paralelos (c) y el otro oblicuo (d).
  • Bases: las bases del trapecio rectángulo son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos, dos ángulos rectos (de 90º) y los ángulos α1 y α2. Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?).
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b). La altura coincide con el lado c.
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2).

    Las fórmulas de las diagonales de cualquier trapecio, conociendo sus cuatro lados, son:

    Fórmula de las diagonales del trapecio

    Aunque en el caso del trapecio rectángulo basta el teorema de Pitágoras para hallar sus diagonales.

  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:
    Fórmula de la mediana del trapecio

¿Cuánto mide cada ángulo?

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Si se conocen los lados c y d se podrán hallar los ángulos no rectos α1 y α2, independientemente de la longitud de sus bases paralelas a y b .

Fórmula de para calcular los ángulos interiores del trapecio rectángulo

Porque en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360°.

Área de un trapecio rectángulo

Dibujo del área del trapecio rectángulo.

El área del trapecio rectángulo se calcula a partir de la fórmula general del área del trapecio. En este caso, a partir de las bases (a y b) y del lado c. Es el resultado de multiplicar su altura (el lado c) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Fórmula del área del trapecio rectángulo.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

El área del trapecio rectángulo se puede obtener también con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.

Así, la fórmula es:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y ángulo que forman

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio rectángulo según sus diagonales formando ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales con ángulo recto

Perímetro del trapecio rectángulo

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo.

El trapecio rectángulo puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.

Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo.

Dibujo del perímetro del trapecio rectángulo

Puede hallarse también el perímetro de un trapecio rectángulo en función los lados a, b y c.

Mediante el teorema de Pitágoras:

Fórmula del perímetro del trapecio rectángulo 2

Trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito en una circunferencia

Para que un trapecio rectángulo pudiera circunscribirse a una circunferencia, debería cumplirse la condición general a toda clase de trapecios de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debería ser igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados:

Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Ejercicio

Conocemos de un trapecio rectángulo la base mayor, que mide 12 cm, el lado oblicuo, 10 cm y el ángulo de 53,13° que forman ambos lados.

Dibujo del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con estos datos: a) hallar el perímetro del trapecio, b) su área, c) la longitud de las diagonales, d) los ángulos que forman estas diagonales y e) determinar si se puede circunscribir a una circunferencia.

Solución:

Dibujo de los lados del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

a) Hallamos en primer lugar el lado vertical c y la proyección de b trigonométricamente.

Aplicamos las fórmulas del seno y coseno:

Cálculo para hallar c en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Ahora para hallar la base superior, calculamos trigonométricamente la proyección del lado d sobre la base a.

Como sabemos del triángulo formado la hipotenusa de 10 cm y el cateto c de 8 cm, obtendremos el cateto de la base, (12 – b) al que llamaremos x:

Cálculo del cateto x en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con lo que podremos saber la base superior b.

Cálculo de la base b en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Con los cuatro lados, se halla el perímetro:

Cálculo del perímetro en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Tenemos la primera respuesta, el perímetro mide 36 cm.

b) El área la hallamos por la fórmula general del trapecio, pues sabemos las dos bases y la altura:

Cálculo del área en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

El área del trapecio es de 72 cm2.

c) La longitud de las diagonales las hallamos directamente por el teorema de Pitágoras:

Dibujo de la longitud de las diagonales del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Obtenemos las dos diagonales, que son dos hipotenusas:

Cálculo de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

d) Los ángulos que forman las diagonales los obtenemos de las fórmulas del área en función de las diagonales y los dos ángulos suplementarios que forman:

Fórmula del área del trapecio rectángulo según sus diagonales y el ángulo que forman

Y sustituimos valores en la fórmula:

Cálculo de los ángulos de las diagonales en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Que son los dos ángulos de las diagonales buscados.

c) Para saber si se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia, basta con comprobarlo con la igualdad correspondiente:

Fórmula de la condición de un trapecio rectángulo circunscrito

Aplicamos los valores de los lados y comprobamos:

Cálculo de la comprobación de si está circunscrito en el ejemplo 1 de trapecio rectángulo

Se puede circunscribir este trapecio rectángulo a una circunferencia.

Dibujo del trapecio rectángulo circunscrito del ejemplo 1 de trapecio rectángulo

AUTOR: Bernat Requena Serra


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95 comentarios en “Trapecio rectángulo”

  1. Las bases de un trapecio miden 16 cm y 32 cm.
    Si su altura mide 18 cm, calcula la distancia del
    punto de intersección de las diagonales a la base
    mayor.

  2. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y B; BC, CD y DA
    miden 4; 6 y 8, respectivamente. Halla la distancia del punto
    de intersección de las bisectrices de los ángulos C y D al lado
    recto.

    1. ¿A qué te refieres con lado recto?
      Dibújate el trapecio. Verás por Pitágoras que AB = 4,47
      Refiérelo a un sistema de coordenadas en que A(0, 0), B(0, 4,47), C(4, 4,47) y D (8, 0).
      Tienes que ir a la página Recta de UNIVERSO FÓRMULAS. Obtén las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados.
      Busca en la página Bisectriz de un triángulo el Teorema de la bisectriz. Te da las ecuaciones de las bisectrices en C y D. También está en Rectas secantes de UF.
      Forma un sistema de dos ecuaciones lineales con las bisectrices y tendrás el punto de intersección.
      En la página Recta, apartado Distancia entre un punto (el corte de las bisectrices) y una recta (supongamos que te refieres con «lado recto» a la del lado AB).
      La distancia será 3.

  3. La medida de las bases 1 y 2 son 20cm y 11cm respectivamente, mientras que la altura mide 5 cm.
    Además, si 𝑀 y 𝑁 son los puntos medios de los lados 𝐴𝐷 y 𝐵𝐶 respectivamente.

  4. hola como resuelvo esto: un trapecio rectangulo sabiendo que su base mayor mide 6 unidades, uno de sus angulos interiores es de 113° y la altura de 4 unidades

    1. Si te fijas, tu duda es muy parecida al ejercicio resuelto en esta página.
      Mira la figura en esta página. Sabes la base mayor (a = 6), la altura (c = 4) y el ángulo α1 = 113°.
      α2 = 180° – 113° = 67°.
      Mira el triángulo rectángulo formado por (a – b), c y d.
      tan 67° = c / (a – b)
      2,36 = 4 / (a – b)
      a – b = 4 / 2,36 = 1,69
      b = 6 – 1,69 = 4,31
      Y aplicas la fórmula del área:
      Área = c * (a + b)/2 = (4 * (6 + 4,31)) / 2 = 20,62

  5. Las bases de un trapecio rectángulo miden 15 cm y 25 cm y el lado oblicuo forma con la base mayor un ángulo de 30º , ¿Cual es la altura? ¿Cuanto mide el lado oblicuo? Necesito ayuda con eso :c

  6. Daniela Fernández Belito

    ayuda por favor ….. graficar un trapecio rectangular donde un ángulo interno mide 116 grados . hallar el cuarto ángulo

    1. Como todo Cuadrilátero (UNIVERSO FÓRMULAS), los cuatro ángulos internos suman 360°.
      El cuarto ángulo medirá:
      360° – (90° * 2) – 116° = 64°

    1. No existe un trapecio rectángulo con esas medidas.
      Pero ya sabes por esta página la fórmula del área del trapecio. Y si es rectángulo, uno de sus lados es la altura

  7. Podrian resolver un ejercicio por favor:
    En un trapecio BCD rectangulo -8medida del angulo A es 90° y medida del angulo B es 90°), AD=4. En la prolongacion de AD se toma el punto P, tal que la medida del angulo ACP= 90°, DP=16 y medida del angulo DCP es igual al triple de la medida del angulo BAC. Halla CD

    B———————C
    . .
    . .
    . ..
    .__________.
    A D

  8. La altura de un trapecio rectángulo mide 16m . El lado no paralelo mide 20m. Hallar la distancia que une los puntos medios de las diagonales.

  9. Hola! Tengo un trapecio isósceles y solo se su bases la B=16 y la b=10 tengo que hallar su altura y su diagonal solo con esos datos como hago pls

  10. Como encuentro el perímetro de un trapecio rectángulo cuando tengo como datos 24.6 m en hipotenusa y 58º en ángulo

    1. Un trapecio, ni siquiera un trapecio rectángulo, tiene una hipotenusa.
      En el ejercicio de esta página, en el que dan el ángulo de la base no recto, el lado oblicuo (al que tu te podrías referir como la hipotenusa del trapecio) se da también la base que tu no tienes.

  11. En un trapecio rectángulo ABCD recto en A y B, la diagonal AC es perpendicular al lado no paralelo CD. Si las bases están en relación de 2 a 1 y la mediana del trapecio mide 15, hallar la medida del ángulo CDA

    1. Según tienes en esta página, la mediana M
      M = (a + b) / 2
      15 = (2b + b) / 2
      15 = 3b / 2
      b = 30 / 3 = 10
      a = 20
      El lado BC es la mitad que la base paralela AD. La proyección del lado superior BC, al ser trapecio rectángulo, divide la base AD, en un punto P, en dos segmentos iguales de AP = PD = 10. Por eso, la perpendicular de C sobre AD es la bisectriz del ángulo de 90° que forman la diagonal AC y el lado CD. Por tanto, los ángulos ACP y PCD son de 45°. También medirá 45° el ángulo que buscas CDA (180° – 90° – 45°)

  12. Hola, llevo varios días dándole a la cabeza para saber el volumen de un anillo o corona circular con forma de trapecio rectangular algo como esto: http://www.erica.es/files/anillo-trapecio.png la formula del área del trapecio es fácil, pero en modo anillo no se como calcular la formula. Hasta ahora lo hacía con Autocad, es muy fácil, usando el comando Volume y listo,. A ver si alguien me puede ayudar a saber la fórmula.

    Mucha gracias.

    1. Saludos, para eso debes conocer de cálculo integral triple SSS, donde tienes el área del trapecio, haces un cambio de coordenadas polares donde el área varia de la recta L1 a la recta L2 del trapecio, limitado entre dos constantes y un barrido del radio de 0 a 2𝜋.

  13. SEA UN TRAPECIO ABCD, CON ANGULO RECTO EN AB/AD Y EN AD/DC, EL LADO AD MIDE 8 CM Y EL LADO BC = AB +CD HALLAR AB Y CD
    NO LOGRO HACERLO

  14. Hola, mi nombre es Santiago,
    Estoy dándole unas vueltas al cálculo del centro de gravedad de un trapecio rectángulo (coordenadas X e Y), para la coordenada Y ya he visto la fórmula, pero en el caso de la X no la encuentro, y entiendo que ha de existir fórmula también… (ya sé que existe la opción de descomponerlo en un triángulo y un cuadrado en caso de querer trabajar con él)
    Agradecería si me aclarases al respecto.

    Un saludo y muchas gracias.

  15. Buenas noches. Hallar el perimetro del trapecio rectangulo, cuya base mayor mide 935mm su base menor 221m y su lado inclinado es de oblicuo de 168 metros, debe expresar en cm. Espero su respuesta colega

    1. Jose, aunque no estoy seguro de ser su colega, el ejercicio que plantea es imposible o está mal expresado. Si todas las medidas estuvieran realmente en metros, la base menor más el lado inclinado debe ser siempre mayor que la base mayor, pero:
      221 + 168 < 935 Pero si la base "mayor" mide 935 mm no es posible que la "menor" mida 221 m.

    1. Un trapecio no tiene hipotenusa. Puede que te refieras a una diagonal. Pero, el trapecio ¿es isósceles o rectángulo?

    1. Si conoces los lados a, b y c, por el teorema de Pitágoras. d es la hipotenusa.
      En breve colgaremos una buena ampliación de los tipos de trapecios.

    1. Diferencia de bases, 24-16 = 8 cm.Cateto inferior. Lado perpendicular 6 cm. Lado oblicuo, que es la hipotenusa por t. Pitágoras.

  16. como puedo hallar la longitud de untrapecio rectangulo, cuyo longitud de los lados paralelos es 8 y 20 el cual son el lado BC Y AD y me pide allar el lado CD

    1. Si te refieres a los ángulos α1 y α2 de la figura (un trapecio rectángulo) y conoces los lados c y d, resuelvelo por trigonometria.
      α2 = arc sen c/d
      α1 = 360 – 90 – 90 – α2
      Porque en todo cuadrilátero, sus ángulos interiores suman 360°. Todo trapecio rectángulo que tuviera un lado (altura) c y el lado oblicuo opuesto d tendrá esos ángulos, independientemente de la longitud de sus bases paralelas, a y b.

  17. Hola, necesito hallar el perimetro de un trapecio truncado donde EB= 7.50, BC=2.44 y me dicen que los otros dos lados osea ED Y DC son iguales como los hallo??
    Porfa ayúdame.

    1. Lado perpendicular, Pitágoras. Un cateto, 28-20, hipotenusa, 17. El otro cateto, el lado recto = altura

    1. Si los nombres de los lados son los del dibujo, te falta la base menor. Y es un trapecio rectángulo de altura c.
      Pitágoras. Hipotenusa d y cateto conocido, c.
      Hallas el cateto (a-b).
      Entonces b = a-(a-b) = b.

    1. Debes aplicar el teorema de Pitágoras para saber el lado que te falta. Se forma un triángulo en el que el cateto de la base es 18-15 = 3 cm. El otro cateto es de 4 cm (la altura). El lado que te falta (la hipotenusa) te dará 5 cm y el perímetro 42 cm.

  18. Un trapecio rectángulo es un trapecio con bases a y b y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º.

    Falta una palabra allí, no? Luego de «dos»

    1. De agradecer tu comentario.
      Per textualmente en la web está: «y con dos y solo dos ángulos consecutivos de 90º«.
      ¿Qué palabras echas a faltar? Gracias

    1. Si llamas a a la base mayor, el lado oblicuo d y a la perpendicular c, la base menor, que es la que te falta le llamas b (como en la página de Universo Fórmulas.
      Triángulo rectángulo con d como hipotenusa, y catetos c y (ab). Hallas por Pitágoras el valor entre paréntesis. Lo restas de la longitud de a y tienes la base menor y, por tanto, el perímetro.

    1. En una circunferencia se pueden inscribir rectángulos, trapecios isósceles y trapezoides. Trapecios rectángulos, no.

    1. En este caso una base a y el lado perpendicular a ella coinciden con los lados del cuadrado. Llama a la otra base b = ax.
      Necesitas saber el ángulo que forma el lado oblicuo con la base. Llámale α.
      tan α = a / x
      x = a / tan α
      Con eso tienes la base superior y puedes qplicar la fórmula general del área del trapecio.

    1. Tienes que tener datos, por ejemplo, a)el área y las dos bases, el área y la mediana, b)una de las bases y la diagonal que une el lado de la altura y la base conocida o c)los tres lados restantes, siempre que sepas cuales de ellos son las bases.
      Con eso y las fórmulas de la web hallas la altura.

  19. Hola, gracias por el post, me es de mucha ayuda. Estoy haciendo una investigación matemática para el colegio y quiero citar su artículo en mi texto. ¿quiere que ponga la referencia a nombre de «Universo Fórmulas, 2015», o pongo su nombre?
    Gracias!

    1. Universo Formulas

      Me alegro que le sea útil y agradezco sus palabras. Si no le importa, mejor cite: «Universo Fórmulas».
      Un saludo.

    1. Universo Formulas Respuestas

      Ese punto no tiene un nombre específico.
      Del punto de corte de las diagonales de un trapecio te podemos decir que en un trapecio isósceles sus diagonales se cortan en el eje de simetría del trapecio. También, que en cualquier trapecio, el segmento que une los puntos medios de las diagonales (y que es paralelo a las bases) es la diferencia base mayor menos base menor partido por dos.

    1. Por Pitágoras mismamente. El trapecio rectángulo está formado por un rectángulo + triangulo rectángulo.
      La base de éste es ‘c’ i el otro lado es ‘a-b’ por lo que d=sqrt(c^2 + (a-b)^2)

    1. eso mismo debió de decir tu novia cuando le regalaste algo y por eso dises esto de esa pagina

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