Ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales) son las que las variables aparecen elevadas a la primera potencia. Es decir, los términos tienen como máximo grado 1.

Ejemplo de una ecuación de primer grado

En cambio, esta ecuación no es de primer grado.

Ejemplo de una ecuación no lineal

En las ecuaciones lineales, las variables ni se multiplican ni se dividen entre sí, como pasa en el ejemplo siguiente.

Ejemplo de una ecuación no de primer grado con las incógnitas multiplicándose

Estas dos últimas serían ecuaciones no lineales.

  1. Ecuaciones de primer grado con una incógnita
  2. Ecuaciones lineales con dos incógnitas
  3. Ejercicios de ecuaciones lineales

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita (o ecuaciones lineales con una incógnita) son la forma más simple de las ecuaciones de primer grado. Son las que se pueden transformar en otra ecuación equivalente del tipo:

Ejemplo de una ecuación lineal con una incógnita

Siendo a y b números y x la única incógnita.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita:

  • Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo.
    Paso de la variable a la izquierda en la resolución de ecuaciones lineales

    Cabe remarcar que es igualmente válido hacer la agrupación de la variable a la derecha y de los números a la izquierda, pero nos vamos a centrar en el otro caso.

  • Si hay paréntesis, el elemento que multiplica o divide al paréntesis se multiplicará o dividirá por los elementos que hay dentro del paréntesis.
    Multiplicación por elementos de un paréntesis en la resolución de ecuaciones de primer grado
  • Cuando hay fracciones, se transforman todos los términos para que tengan un común denominador. Para ello se buscará el mínimo común múltiplo (ver operaciones con fracciones).
    Fracciones en la resolución de ecuaciones de primer grado

    En este caso el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 12. Se reduce a común denominador. Operando, se eliminan los denominadores:

    Eliminar denominadores en la resolución de ecuaciones lineales
  • El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo.
    Paso del término dividiendo en la resolución de ecuaciones de primer grado
  • Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución.
    Solución en la resolución de ecuaciones lineales
  • Conviene siempre comprobar la solución, colocándola en la primera ecuación en el lugar de la incógnita.
    Comprobación de la solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado puede tener una solución:

Una solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Ninguna:

Ninguna solución en la resolución de ecuaciones lineales

Ningún valor de x satisface la ecuación.

O admitir cualquier solución:

Cualquier solución en la resolución de ecuaciones de primer grado

Esta ecuación, en realidad sería una identidad.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una ecuación de primer grado puede tener una o varias incógnitas. He aquí una:

Ejemplo de una ecuación lineal con dos incógnitas

Cuando una ecuación de primer grado tiene más de una incógnita, para obtener soluciones, las incógnitas a partir de la primera actuarán como parámetros. Dándole valores a los parámetros se obtendrán soluciones particulares a la incógnita aislada.

Calcular parámetros en ecuaciones lineales de dos incógnitas

Si se toma la x en función de y y de z, se considerarán estas dos últimas variables como parámetros, de esta manera:

Calcular la x en ecuaciones de primer grado de dos incógnitas

Esta última expresión es la solución general de la ecuación para la incógnita x. Dando valores diferentes a los parámetros, se obtendrán diferentes soluciones particulares. Por ejemplo, para α = 1 y β = 2, la solución particular será:

Calcular la y y la z en ecuaciones de primer grado de dos incógnitas

En una ecuación de primer grado, el número de parámetros se denomina grados de libertad o grado de indeterminación. En una ecuación lineal con n incógnitas, los grados de libertad serán n – 1.

Otra vía para conocer la solución general en ecuaciones de de primer grado con más de una incógnita, es formar sistemas de ecuaciones lineales con al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

Ejercicios de ecuaciones lineales

Ejercicio

Resolver esta ecuación de primer grado con una incógnita:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Se reducen todos los términos a común denominador. El mínimo común múltiplo de 3, 2 y 5 es 30:

Común denominador del ejercicio 1

Multiplicando todos los términos por 30, se eliminan los denominadores y la igualdad se mantiene:

Eliminar denominadores del ejercicio 1

Se eliminan los paréntesis, multiplicando los factores de cada uno por sus elementos interiores:

Eliminar paréntesis del ejercicio 1

Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo. Una vez agrupados, se opera:

Agrupando términos del ejercicio 1

El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo. Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución:

Solución del ejercicio 1

La solución es 5. Se comprueba el resultado en la ecuación original.

Comprobación de la solución del ejercicio 1

La solución es correcta.

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