Ecuaciones de grado superior

Son ecuaciones de grado superior o ecuaciones de grado superior a dos las que tienen grado tres o superior. Tienen una incógnita.

Este tipo de ecuaciones se descomponen por factorización. Cada factor se iguala a cero y se resuelve, apareciendo las soluciones.

Sabemos que las soluciones son divisores del término independiente (el coeficiente que no multiplica a la incógnita).

1. Teorema del factor
2. Ecuaciones bicuadradas
3. Ecuaciones tricuadradas
4. Regla de Ruffini
5. Teorema del resto

Teorema del factor

El teorema del factor dice:

Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.

El teorema del factor sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Mediante este teorema, se identifican posibles factores en la forma x – a, quedando otros factores de un grado menor. Este proceso se llama factorización.

El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto. Uno lleva al otro.

Al hacer la división:

Al polinomio se le habrá hecho una primera factorización:

a es una raíz o cero de la correspondiente ecuación polinómica. El otro factor Q(x) es otro polinomio de un grado inferior.

Si se sigue y se llega a la factorización completa del polinomio, también se habrán hallado las n raíces o ceros de esa ecuación polinómica. El número de raíces es igual al grado n del polinomio. Aunque suelen ser números reales, también podrían haber raíces complejas. Pueden haber raíces repetidas.

El producto de todas las raíces es el término independiente del polinomio.

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son un tipo de ecuaciones de grado superior de cuarto grado.

Las que tienen la forma reducida:

En la que el coeficiente a no puede ser nulo, aunque sí cualquiera de los otros dos coeficientes b y/o c.

Al tener grado cuatro, pueden haber cuatro soluciones reales como máximo. Pero también hay casos de tres, dos, una o ninguna solución real.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Y se convierten en una ecuación de segundo grado:

Para aplicar, entonces, la fórmula cuadrática (procedimiento más sencillo en segundo grado que la regla de Ruffini).

Supongamos que obtenemos dos soluciones reales z₁ y z₂. Entonces, las soluciones a la ecuación bicuadrada serían:

Pero no siempre se obtienen cuatro soluciones:

• Si una solución z_i = 0, su raíz cuadrada sería 0. z_i daría lugar a una única solución.
• Si la solución z_i es negativa, su raíz cuadrada sería un número complejo. z_i no proporcionaría soluciones reales.

Una ecuación bicuadrada puede intentar resolverse por la regla de Ruffini, pero debe haber alguna raíz entera. El método del cambio de variable permite hallar las raíces, pese a que algunas raíces no sean enteras.

Ecuaciones tricuadradas

Las ecuaciones tricuadradas tienen grado 6. La forma reducida es:

Las incógnitas solamente tienen término en grado 6 y grado 3.

Se resuelven haciendo el cambio de variable:

Y se convierten igualmente en una ecuación de segundo grado:

Una vez halladas las soluciones con la fórmula cuadrática, (v₁, y v₁) se deshace el cambio de variable, apareciendo las raíces de la ecuación tricuadrada:

Regla de Ruffini

La regla de Ruffini (o división sintética) es un método que permite hallar las raíces de una ecuación (siempre que estas raíces sean números enteros). Es útil para grados 3 y 4.

Con la regla de Ruffini se puede factorizar un polinomio en factores del tipo (x – k_i). A efectos de la regla, los polinomios se igualaran a cero.

El fundamento de la regla es:

• Si una ecuación polinómica P(x) = 0, de grado n tuviese raíces enteras, y una de ellas fuese a, se podrá factorizar en forma (x – a)Q(x). Q(x) es de grado n – 1. Con Q(x) se repetiría el proceso, hasta tener completamente factorizada la ecuación polinómica. Los números enteros k_i de los n binomios obtenidos en la factorización completa, serán las n raíces de la ecuación polinómica.
• Cuando se llega a una ecuación de segundo grado, podemos dejar la regla de Ruffini y aplicar las fórmulas conocidas (por ejemplo la fórmula cuadrática).
• Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).
• El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x)/(x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

Teorema del resto

El teorema del resto sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Para ello, el resto R de esa división debe de ser cero.

El teorema del resto dice:

Si un polinomio P(x) se divide por (x – a), el resto R es el resultado de reemplazar en P(x), x por a. El resto será P(a).

En efecto, al hacer la división:

(Donde Q(x) es el llamado polinomio reducido de grado n – 1).

Y se reemplaza en P(x), la x por a:

Se comprueba que el resto es igual a la evaluación del polinomio en a.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor está para saber si a es una raíz del polinomio (un valor de x que lo hace nulo), o lo que es lo mismo, si (x – a) es un factor de P(x). El teorema del factor sería el reverso del teorema del resto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Factorizar este polinomio. Hallar las raíces:

Solución:

El polinomio es de grado 4, por lo que se deberán encontrar cuatro raíces.

Las cuatro raíces deberán buscarse entre los divisores del término independiente -12.

Estos son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12.

Empecemos por +1:

Siguiendo el teorema del factor y evaluado en +1, P(1) = 0. Luego tenemos el primer factor x – 1. Y la primera raíz es: +1.

Probemos ahora con -1:

x – (-1) no es factor del polinomio. El resto no es nulo. Y –1 no es una de sus raíces.

Intento con +2:

Resulta P(+2) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la segunda raíz es: +2.

Intento con -2:

Resulta P(-2) = 0. Resto nulo. El binomio x + 2 es factor del polinomio. Y la tercera raíz es: -2.

Prueba con +3:

Resulta P(+3) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la cuarta raíz es: +3.

Aquí se detiene el proceso pues están halladas las cuatro raíces. El polinomio es de cuarto grado.

Al mismo resultado se llega aplicando a las mismas raíces sucesivamente la regla de Ruffini:

El polinomio factorizado es:

Y las raíces o ceros del polinomio son: 1, 2, -2 y 3.

Ejercicio 2

Solucionar esta ecuación bicuadrada:

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.

Factorizando, nos facilita la solución.

Hay que hallar los valores para hacer 0 cada factor y se cumpla la igualdad.

Dos soluciones positivas. Una de ellas, 0. Se deshace el cambio de variable y se hallan las soluciones de la ecuación cuadrática.

Hay tres soluciones reales distintas.

Ejercicio 3

Resolver esta ecuación tricuadrada:

Solución:

Hacer un cambio de variable para convertirla en ecuación de segundo grado.

Hallar las posibles soluciones de esta última ecuación transformada con la fórmula cuadrática.

Dos soluciones. 8 y -1. Se deshace el cambio de variable y se hallan las raíces de la ecuación cuadrática.

Esta ecuación tricuadrada tiene dos soluciones reales y distintas.

Ejercicio 4

Resolver paso a paso esta ecuación de cuarto grado, con la regla de Ruffini:

Solución:

Pasar el término independiente a la izquierda de la igualdad:

Basándonos en el teorema del resto, los divisores del término independiente 12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Entre ellos estarán las raíces de la ecuación.

Colocamos ordenadamente los coeficientes de los términos, de mayor a menor grado. Si faltase alguno, en su lugar se pondría un 0. Todo esto en la parte superior entre dos líneas perpendiculares. Se baja debajo de la línea horizontal el primer coeficiente. Sin operar sobre él. Como se ve en la figura:

Se hacen intentos con los divisores. Probamos con el 1, que se correspondería con factorizar con el binomio (x – 1). El 1 se coloca en el ángulo superior izquierdo que forman las dos líneas. Se multiplica por el primer coeficiente que hemos bajado y el resultado (1) se coloca debajo de la segunda columna, la del segundo coeficiente:

Se suma esa columna. El resultado es -3, que se coloca debajo de la línea horizontal. Se repite la operativa, volviendo a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por -3 y el resultado (-3) se coloca en la tercera columna, la del tercer coeficiente. Se realiza la operación de la tercera columna y la suma es -4.

Se repite la operativa. Se sube el -4 a la cuarta columna. La suma de esa columna es 12. Se vuelve a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por 12 y el resultado (12) se coloca en la quinta columna. El resultado al final es 12 – 12 = 0.

El objetivo de la regla es que este último número sea el 0. Este número es el resto de la división. Si hubiera sido otro, deberíamos repetir el proceso con otro de los divisores de otro.

Ahora se ha hecho una primera factorización de la ecuación y tenemos una primera raíz: el 1. Los coeficientes del segundo factor polinómico son los obtenidos bajo la línea horizontal en este primer proceso y que se han marcado en rojo.

Volvemos a iniciar el procedimiento con la nueva expresión polinómica, ahora de tercer grado. Realizamos el mismo proceso descrito con un intento con el divisor -1 del término libre 12. Con los mismos pasos anteriores, se ha llegado al último número diferente de 0 (12). Por lo tanto, -1 no es una raíz de la ecuación:

Lo repetimos con el polinomio de tercer grado donde nos habíamos quedado, ahora con el divisor 2 del término libre 12. En la imagen vemos que sí que se llega a un resto de 0. Por lo que 2 sí que es otra raíz de la ecuación:

Al ser raíz, los tres números en rojo de la izquierda son los coeficientes de un polinomio, ahora de segundo grado. Podemos expresar la ecuación inicial con esta factorización:

Las raíces del tercer polinomio se pueden hallar con la fórmula general de resolución de las ecuaciones de segundo grado (lo haremos al final), pero vamos a avanzar con la regla de Ruffini. Ahora probamos con el divisor -2.:

Se ha llegado a un 0 a la derecha, luego -2 también es raíz de la ecuación. Bajo de la barra han quedado los coeficientes 1 y -3. Como -3 es el término libre del último polinomio alcanzado, 1 será el coeficiente de primer grado de x. La factorización total queda así:

Y las raíces de la ecuación son 1, 2, -2 y 3, ya que cada una hacen nulo uno de los cuatro factores.

El proceso completo, sin contar intentos no válidos, se ve aquí.

Antes, al llegar a un polinomio de segundo grado, se podría resolver con la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, obteniendo las mismas dos últimas raíces: -2 y 3:

Ejercicio 5

Por el teorema del resto, hallar el resto o residuo resultante de dividir este polinomio por x + 3. Comprobar el resultado por Ruffini.

Solución:

Tener en cuenta que en el formato del teorema, el binomio divisor es x – a, por lo que en este caso, equivaldrá a x – (-3).

Según el teorema del resto, se evalúa el polinomio en -3.

Comprobación por la regla de Ruffini:

El resto vale 84 y P(-3) = 84.