El teorema del factor dice:
Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.
El teorema del factor sirve para saber si un polinomio es divisible por x – a. Mediante este teorema, se identifican posibles factores en la forma x – a, quedando otros factores de un grado menor. Este proceso se llama factorización.
El teorema del factor es una consecuencia del teorema del resto. Uno lleva al otro.
Al hacer la división:
Al polinomio se le habrá hecho una primera factorización:
a es una raíz o cero de la correspondiente ecuación polinómica. El otro factor Q(x) es otro polinomio de un grado inferior.
Si se sigue y se llega a la factorización completa del polinomio, también se habrán hallado las n raíces o ceros de esa ecuación polinómica. El número de raíces es igual al grado n del polinomio. Aunque suelen ser números reales, también podrían haber raíces complejas. Pueden haber raíces repetidas.
El producto de todas las raíces es el término independiente del polinomio.
Ejercicio
Factorizar este polinomio. Hallar las raíces:
Solución:
El polinomio es de grado 4, por lo que se deberán encontrar cuatro raíces.
Las cuatro raíces deberán buscarse entre los divisores del término independiente -12.
Estos son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12.
Empecemos por +1:
Siguiendo el teorema del factor y evaluado en +1, P(1) = 0. Luego tenemos el primer factor x – 1. Y la primera raíz es: +1.
Probemos ahora con -1:
x – (-1) no es factor del polinomio. El resto no es nulo. Y –1 no es una de sus raíces.
Intento con +2:
Resulta P(+2) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la segunda raíz es: +2.
Intento con -2:
Resulta P(-2) = 0. Resto nulo. El binomio x + 2 es factor del polinomio. Y la tercera raíz es: -2.
Prueba con +3:
Resulta P(+3) = 0. Resto nulo. El binomio x – 2 es factor del polinomio. Y la cuarta raíz es: +3.
Aquí se detiene el proceso pues están halladas las cuatro raíces. El polinomio es de cuarto grado.
Al mismo resultado se llega aplicando a las mismas raíces sucesivamente la regla de Ruffini:
El polinomio factorizado es:
