Hexágono

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Dibujo de un hexágono

Un hexágono es un polígono de seis lados (L1, L2, L3, L4, L5 y L6). Los lados confluyen dos a dos en seis puntos, llamados vértices.

Elementos del hexágono

En un hexágono se pueden diferenciar los siguientes elementos:

Dibujo de los elementos del hexágono

  • Vértices (V): puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 6 vértices.
  • Lados (L): segmentos que unen dos vértices consecutivos del hexágono y que delimitan su perímetro. Tiene 6 lados.
  • Diagonal (D): segmento que une dos vértices no consecutivos. En un hexágono convexo hay 9 diagonales (¿por qué hay nueve diagonales?).
  • Ángulos interiores (α): ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 6 ángulos interiores. Los ángulos interiores del hexágono suman 720º (¿por qué suman 720º?).
  • Ángulos exteriores (β): ángulo formado por un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 6 ángulos exteriores.

Tipos de hexágono

Según las características de los lados y ángulos del hexágono, se clasifica en dos tipos:

  • Hexágono regular: figura geométrica con seis lados y ángulos iguales (todos sus ángulos interiores son de 120º, resultado de dividir 720º entre 6 ángulos).
  • Hexágono irregular: figura geométrica cuyos seis lados y ángulos no son iguales entre sí.
Dibujo de la diferencia entre hexágono regular e irregular

Área del hexágono

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El cálculo del área de un hexágono es diferente dependiendo de si el hexágono es regular o irregular.

Área del hexágono regular

Dibujo del área del hexágono regular

El área del hexágono regular se calcula como la mitad del producto del perímetro y la apotema (ap), utilizando la fórmula del área del poligono regular.

Al ser su perímetro seis veces la longitud (L) de uno de sus lados, el área será:

Fórmula del área del hexágono regular

Como la apotema del hexágono regular se calcula con esta fórmula (a partir de la apotema de un polígono regular):

Cálculo de la apotema para el cálculo del área del hexágono regular

Donde α es el ángulo interior del hexágono. Así, la fórmula del área del hexágono regular se puede expresar así:

Segunda fórmula del área del hexágono regular

En la que, agrupando las constantes, con aproximación a dos decimales, se queda así:

Tercera fórmula del área del hexágono regular

Área del hexágono irregular

El área del hexágono irregular requiere ser calculada por métodos alternativos de cálculo de áreas. El más común es dividir el hexágono en seis triángulos y calcular el área sumando las seis áreas de los triángulos.

Dibujo del área del hexágono irregular

Fórmula del área del hexágono irregular

El área del hexágono irregular se puede calcular mediante dos procedimientos alternativos: el método de triangulación o el determinante de Gauss.

Triangulación del hexágono irregular

Hexágono irregular

Sea P un hexágono irregular. Se desea calcular su área (A).

El método de triangulación consiste en dividir el hexágono en figuras más fáciles de calcular el área. En este caso se divide en seis triángulos y el área del hexágono será la suma del área de esos seis triángulos.

    Hexágono irregular dividido en seis triángulos.

  1. Se divide el hexágono en seis triángulos (T1, T2, T3, T4, T5 y T6) . Estos triángulos cumplen que uno de sus lados es un lado del hexágono y que todos confluyen en un mismo punto interior del hexágono.
  2. Hexágono irregular dividido en seis triángulos y con la altura de ellos.

  3. Se miden las alturas (h1, h2,…, h6) de los triángulos. La altura de cada triángulo será el segmento de recta perpendicular al lado del hexágono que va desde ese mismo lado hasta el punto interior.
  4. Primer triángulo del hexágono irregular dividido en seis triángulos.

  5. Se calculan las áreas de los seis triángulos. El área del primer triángulo es:
    Fórmula del área del primer triángulo del hexágono irregular.

    Utilizamos la misma fórmula para calcular el área de los otros cinco triángulos.

  6. Sumamos las seis áreas y obtenemos el área del hexágono irregular:
    Fórmula del área del hexágono irregular

Determinante de Gauss

Un procedimiento muy útil para hallar el área de cualquier polígono irregular es a través del determinante de Gauss.

Supone dibujar la figura sobre un plano cartesiano, fijando las coordenadas de cada uno de los vértices del polígono.

Dibujo de la elección y enumeración de los puntos del pentágono irregular para el determinante de Gauss.

Se elige al azar cualquiera de ellos y se colocan los pares en la siguiente fórmula. Se ha de recorrer el polígono en el sentido contrario al de las agujas del reloj, teniendo en cuenta que el primer par de coordenadas corresponden al vértice elegido y, después de recorrer en sentido antihorario todos los vértices, el último par debe volver a ser el par inicial.

Sean los vértices del hexágono: (x1,y1), (x2,y2),…, (x6,y6). La fórmula es la siguiente:

Fórmula del área del hexágono irregular mediante el Determinante de Gauss

Resolviéndolo por el procedimiento conocido, habremos hallado rápidamente el área del hexágono irregular.

Este método es aplicable a cualquier polígono con cualquier número de lados, tanto en el caso de polígonos cóncavos como en los convexos.

Perímetro del hexágono

La fórmula del perímetro del hexágono es diferente dependiendo si el hexágono es regular o irregular.

Perímetro del hexágono regular

El hexágono regular tiene los seis lados de la misma longitud, por lo que su perímetro es seis veces uno de ellos:

Dibujo del perímetro del hexágono regular

Fórmula del perímetro del hexágono regular

Perímetro del hexágono irregular

El hexágono irregular es un polígono cuyos seis lados no son iguales entre sí.

Por tanto, su perímetro será la suma de la longitud de sus seis lados.

Dibujo del perímetro del hexágono irregular

Fórmula del perímetro del hexágono irregular

Ejercicios resueltos

Ejercicio del área del hexágono regular

Dibujo de un ejemplo de hexágono regular

Sea un hexágono regular con los seis lados (N=6) de la misma longitud L=3,1 cm.

La apotema (distancia del centro del hexágono al punto medio de un lado) se puede calcular mediante el ángulo central (resolución del polígono regular trigonométricamente).

Sea el ángulo central:

Cálculo del ángulo central de un hexágono regular para el cálculo de su área

Mediante las razones trigonométricas y el ángulo central se calcula la apotema:

Cálculo de la apotema de un hexágono regular para el cálculo de su área

Y la apotema es ap=2,68 cm.

Se aplica la fórmula del área del hexágono regular:

Cálculo del área de un hexágono regular mediante su fórmula

Y se obtiene que el área es 24,98 cm2.

Ejercicio del perímetro del hexágono regular

Dibujo de un hexágono regular para calcular su perímetro

Sea un hexágono regular con todos los lados iguales de longitud L=1,8 cm. Su perímetro será el producto del número de lados (seis) y su longitud.

Cálculo del perímetro de un ejemplo de hexágono regular

Y se obtiene que el perímetro de este hexágono regular es de 10,8 cm.

Ejercicio del perímetro del hexágono irregular

Dibujo de un hexágono irregular para calcular su perímetro

Sea un hexágono irregular con seis lados no todos iguales, siendo sus longitudes: L1=2,1 cm, L2=2,7 cm, L3=3,4 cm, L4=2,9 cm, L5=2,4 cm y L6=3,0 cm.

Su perímetro será la suma de todos sus lados:

Cálculo del perímetro de un ejemplo de hexágono irregular

Y como resultado se obtiene que el perímetro de este hexágono irregular es de 16,5 cm.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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21 comentarios en “Hexágono”

    1. No están asignadas letras específicas. Según la representación gráfica, puedes tomar las letras consecutivas.
      Lo esencial es que un ángulo interior es suplementario de sus dos exteriores.

  1. alguien podria decirme que significado tiene el numero 9 dentro de un hexagono y a la par un signo de admiracion ?? o que valor es o el significado por facor

    1. En UNIVERSO FORMULAS están desarrollados los polígonos precisamente hasta el octógono. Todo lo que se refiere a los ellos, y, en particular, a los polígonos regulares, desde el triángulo equilátero hasta el octógono regular es extensible a cualquier tipo de polígono, haciendo los correspondientes ajustes en el número de lados N. A partir de ahí, se adaptan las siguientes fórmulas (ángulo central, área, perímetro o apotema).

  2. como hago para hallar el área de un hexágono cuyos lados miden
    2 de 20 cm
    4 de 10 cm
    por favor me pueden ayudar para poder aprender 😀 😀 😀

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