Regla de Ruffini

La regla de Ruffini (o división sintética) es un método que permite hallar las raíces de una ecuación (siempre que estas raíces sean números enteros). Es útil para grados 3 y 4.

Con la regla de Ruffini se puede factorizar un polinomio en factores del tipo (x – ki). A efectos de la regla, los polinomios se igualaran a cero.

Dibujo de la regla de Ruffini

El fundamento de la regla es:

  • Si una ecuación polinómica P(x) = 0, de grado n tuviese raíces enteras, y una de ellas fuese a, se podrá factorizar en forma (x – a)Q(x). Q(x) es de grado n – 1. Con Q(x) se repetiría el proceso, hasta tener completamente factorizada la ecuación polinómica. Los números enteros ki de los n binomios obtenidos en la factorización completa, serán las n raíces de la ecuación polinómica.
  • Cuando se llega a una ecuación de segundo grado, podemos dejar la regla de Ruffini y aplicar las fórmulas conocidas (por ejemplo la fórmula cuadrática).
  • Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).
  • El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x)/(x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

Mediante casos prácticos, se verá la mecánica de la regla de Ruffini:

Ejercicios de la regla de Ruffini

Ejercicio 1

Resolver paso a paso esta ecuación de cuarto grado, con la regla de Ruffini:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Pasar el término independiente a la izquierda de la igualdad:

Paso del término independiente a la izquierda en el ejercicio 1

Basándonos en el teorema del resto, los divisores del término independiente 12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Entre ellos estarán las raíces de la ecuación.

Colocamos ordenadamente los coeficientes de los términos, de mayor a menor grado. Si faltase alguno, en su lugar se pondría un 0. Todo esto en la parte superior entre dos líneas perpendiculares. Se baja debajo de la línea horizontal el primer coeficiente. Sin operar sobre él. Como se ve en la figura:

Bajar el primer coeficiente en el ejercicio 1

Se hacen intentos con los divisores. Probamos con el 1, que se correspondería con factorizar con el binomio (x – 1). El 1 se coloca en el ángulo superior izquierdo que forman las dos líneas. Se multiplica por el primer coeficiente que hemos bajado y el resultado (1) se coloca debajo de la segunda columna, la del segundo coeficiente:

Bajar el segundo coeficiente en el ejercicio 1

Se suma esa columna. El resultado es -3, que se coloca debajo de la línea horizontal. Se repite la operativa, volviendo a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por -3 y el resultado (-3) se coloca en la tercera columna, la del tercer coeficiente. Se realiza la operación de la tercera columna y la suma es -4.

Bajar el tercer coeficiente en el ejercicio 1

Se repite la operativa. Se sube el -4 a la cuarta columna. La suma de esa columna es 12. Se vuelve a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por 12 y el resultado (12) se coloca en la quinta columna. El resultado al final es 12 – 12 = 0.

Bajar el cuarto coeficiente en el ejercicio 1

El objetivo de la regla es que este último número sea el 0. Este número es el resto de la división. Si hubiera sido otro, deberíamos repetir el proceso con otro de los divisores de otro.

Ahora se ha hecho una primera factorización de la ecuación y tenemos una primera raíz: el 1. Los coeficientes del segundo factor polinómico son los obtenidos bajo la línea horizontal en este primer proceso y que se han marcado en rojo.

Coeficientes tras la primera raiz en el ejercicio 1

Volvemos a iniciar el procedimiento con la nueva expresión polinómica, ahora de tercer grado. Realizamos el mismo proceso descrito con un intento con el divisor -1 del término libre 12. Con los mismos pasos anteriores, se ha llegado al último número diferente de 0 (12). Por lo tanto, -1 no es una raíz de la ecuación:

Buscando la segunda raíz con el -1 en el ejercicio 1

Lo repetimos con el polinomio de tercer grado donde nos habíamos quedado, ahora con el divisor 2 del término libre 12. En la imagen vemos que sí que se llega a un resto de 0. Por lo que 2 sí que es otra raíz de la ecuación:

Buscando la segunda raíz con el 2 en el ejercicio 1

Al ser raíz, los tres números en rojo de la izquierda son los coeficientes de un polinomio, ahora de segundo grado. Podemos expresar la ecuación inicial con esta factorización:

Ecuación factorizada en el ejercicio 1

Las raíces del tercer polinomio se pueden hallar con la fórmula general de resolución de las ecuaciones de segundo grado (lo haremos al final), pero vamos a avanzar con la regla de Ruffini. Ahora probamos con el divisor -2.:

Buscando la tercera raíz con el -2 en el ejercicio 1

Se ha llegado a un 0 a la derecha, luego -2 también es raíz de la ecuación. Bajo de la barra han quedado los coeficientes 1 y -3. Como -3 es el término libre del último polinomio alcanzado, 1 será el coeficiente de primer grado de x. La factorización total queda así:

Factorización del polinomio en el ejercicio 1

Y las raíces de la ecuación son 1, 2, -2 y 3, ya que cada una hacen nulo uno de los cuatro factores.

El proceso completo, sin contar intentos no válidos, se ve aquí.

Proceso completo en el ejercicio 1

Antes, al llegar a un polinomio de segundo grado, se podría resolver con la fórmula general de las ecuaciones de segundo grado, obteniendo las mismas dos últimas raíces: -2 y 3:

Solución en el ejercicio 1

Ejercicio 2

Resolver paso a paso esta ecuación incompleta de tercer grado, con la regla de Ruffini:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Pasar el término independiente a la izquierda de la igualdad.

Igualando a 0 en el ejercicio 2

Los divisores del término -4 son: ±1, ±2 y ±4. Entre ellos estarán los candidatos a raíces de la ecuación.

Desarrollamos la regla de Ruffini como se ha explicado en el ejemplo anterior. Como no existe término de primer grado, en su lugar se pondrá el coeficiente 0.

Solución en el ejercicio 2

Las soluciones a esta ecuación son 1 y -2 (-2 se ha repetido dos veces con el desarrollo de Ruffini completo).

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