Trapecio isósceles

Trapecio isósceles

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Dibujo del trapecio isósceles.

Un trapecio isósceles es un trapecio con bases a y b y los ángulos iguales dos a dos.

Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.

Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.

Los lados oblicuos (c y d) son iguales.

Elementos y propiedades del trapecio isósceles

Dibujo de los elementos y propiedades del trapecio isósceles.

  • Lados: el trapecio isósceles tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y dos oblicuos (c y d). Los lados oblicuos son iguales.
  • Bases: las bases son los dos lados paralelos (a y b).
  • Ángulos: tiene cuatro ángulos, iguales dos a dos (los dos ángulos α y los dos β). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, 2α+2β=360º.
  • Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
  • Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales iguales (D1 y D2). Estas diagonales se cortan en el eje de simetría del trapecio isósceles.

    Las fórmulas de las diagonales de un trapecio isósceles, conociendo sus lados son:

    Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles
  • Ejes de simetría: son líneas imaginarias que dividen el trapecio en dos partes simétricas respecto a dicho eje. Solamente tiene un eje de simetría el trapecio isósceles. Perpendicular a sus bases, que las corta en sus puntos medios.
  • Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:
    Fórmula de la mediana del trapecio
  • La proyección de un vértice superior sobre la base inferior la divide en dos segmentos que cumplen esta relación:
    Dibujo de la proyección de un vértice del trapecio

Área del trapecio isósceles

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Dibujo del área del trapecio isósceles.

El área del trapecio isósceles se calcula por la fórmula general del área del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.

Fórmula del área del trapecio isósceles.

También se puede hallar el área del trapecio conociendo sus cuatro lados, sabiendo que c y d son iguales:

Fórmula del área del trapecio isósceles (segunda forma)

Dibujo del área del trapecio isósceles a partir de sus diagonales

El área del trapecio isósceles se puede obtener con las longitudes de sus diagonales, que son iguales, y el ángulo que forman:

Así, la formula es:

Fórmula del área del trapecio isósceles según sus diagonales

Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.

Dibujo del área del trapecio isósceles a partir de sus diagonales que forman un ángulo recto

Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio isósceles es un ángulo recto (de seno igual a 1):

Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:

Fórmula del área del trapecio isósceles según sus diagonales que forman un ángulo recto

En el mismo caso de diagonales perpendiculares, el área es el cuadrado de la altura.

Fórmula del área del trapecio isósceles según sus diagonales perpendiculares

Perímetro del trapecio isósceles

Dibujo del perímetro del trapecio isósceles.

En el trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto, su perímetro será la suma de las bases (a y b) más el doble de uno de sus lados oblicuos (c).

Fórmula del perímetro del trapecio isósceles.

Trapecio isòsceles inscrito a una circunferencia

Dibujo del trapecio isósceles inscrito en una circunferencia

Solamente pueden inscribirse a una circunferencia los trapecios isòsceles. El resto de los trapecios no se pueden inscribir.

Trapecio circunscrito a una circunferencia

Para que un trapecio pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:

Fórmula de la condición de un trapecio isósceles circunscrito

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:

Fórmula del radio de un trapecio isósceles circunscrito

Los lados oblicuos iguales, c y d, serán iguales a la semisuma de las bases, o, lo que es lo mismo, a la mediana M.

El producto de las bases es igual al cuadrado de la altura.

Fórmula del cuadrado de la altura de un trapecio isósceles circunscrito

Válido para los trapecios isósceles:

Dibujo del trapecio isósceles circunscrito en una circunferencia

Diagonales del trapecio isósceles

Dibujo de las diagonales del trapecio isósceles

La longitud de las diagonales iguales del trapecio isósceles se pueden calcular mediante esta fórmula, a partir de la longitud de los cuatro lados del trapecio:

Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles

Mediana del trapecio

La mediana M del trapecio es un segmento paralelo a sus bases situado a la mitad de su altura. Une los puntos medios de los lados oblicuos c y d.

Por el primer teorema de Tales, la mediana M corta a las dos diagonales D1 y D2 por sus puntos medios.

Su longitud, en función de sus bases, es:

Fórmula de la mediana del trapecio

Ejercicios

Ejercicio 1

Dibujo del ejemplo 1 del perímetro de un trapecio isósceles

Las bases de un trapecio isósceles miden 9 cm y 3 cm, mientras que su altura es de 4 cm. Hallar su perímetro.

Solución:

Con la mitad de la diferencia entre las bases, la altura del trapecio y un lado oblicuo se forma un triangulo rectángulo, del que el lado oblicuo es la hipotenusa.

Dibujo del planteamiento del ejemplo 1 del perímetro de un trapecio isósceles

Los catetos son 4 cm y 3 cm. Hallaremos la hipotenusa c por el teorema de Pitágoras:

Cálculo del teorema de Pitágoras en el ejemplo 1 de trapecio isósceles

Tenemos que un lado oblicuo mide 5 cm. Aplicamos la fórmula del perímetro del trapecio isòsceles:

Cálculo de la solución en el ejemplo 1 de trapecio isósceles

Obtenemos que su perímetro es de 22 cm.

Ejercicio 2

Dibujo del ejemplo 2 del área de un trapecio isósceles

De un trapecio isòsceles conocemos sus dos bases de 9 cm y 3 cm. También sus lados oblicuos, que miden cada uno 6,71 cm. Hallar la longitud de sus diagonales y el área.

Solución:

Para hallar las diagonales iguales del trapecio isòsceles, aplicamos la fórmula que parte de saber los lados:

Fórmula de las diagonales del trapecio isósceles

Y sustituimos valores.

Cálculo de las diagonales en el ejemplo 2 de trapecio isósceles

El área del trapecio isòsceles se obtiene, a partir de sus lados, con la fórmula:

Fórmula del área del trapecio isósceles (segunda forma)

Y sustituimos valores.

Cálculo del área en el ejemplo 2 de trapecio isósceles

Se obtiene que su área es de 36 cm2.


AUTOR: Bernat Requena Serra


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159 comentarios en “Trapecio isósceles”

  1. Tengo una duda, me dan tres puntos de un trapecio isoceles y me piden que encuentre el 4 punto, mi pregunta es ¿cómo podría hacerlo?

  2. Problema:
    Uno de los ángulos de un trapecio isosceles hace 65º, los lados iguales son de 8 cm y la diagonal es de 15 cm. Determina el área.

    1. Una diagonal divide el trapecio en dos triángulos.
      Llámale β1 al ángulo que forma una diagonal con la base a
      Aplica el teorema del seno (en UNIVERSO FÓRMULAS) al triángulo inferior que forma una diagonal.
      15 / sen 65° = 8 / sen β1
      β1 = 28,91°

      Ves a la página resolución de triángulos (UNIVERSO FÓRMULAS) en el apartado «Se conocen dos lados y un ángulo diferente al que forman éstos»
      Calcula el área del triángulo formado en la parte inferior por la diagonal, 15, un lado igual, 8 y el ángulo 28,91°
      (El ángulo superior que forman la diagonal 15 y el lado 8, en el triángulo inferior que forma la diagonal, es 180° – 65° – 28,91° = 85,998°)
      Área = ½ * 15 * 8 * sen 85,998° = 59,853 cm²
      Haz el mismo desarrollo para el triángulo superior a la diagonal. El área será de 35,343 cm²
      El área del trapecio será la suma de estas dos áreas: 95,2 cm²

  3. En un trapecio isósceles la diagonal mide el doble de su
    mediana. Calcular una de las medidas de los ángulos
    formados por las diagonales de dicho trapecio.
    A) 45 B) 60 C) 30
    D) 150 E) 90

    No encuentro solución 🙁

  4. Area de trapecio .
    Un trapecio isósceles ABCD, con lados paralelos AB y CD,
    la diagonal BD mide 2m, y i P es la proyección ortogonal de B sobre CD, se da que el segmento que va de B a P mide 1m.

    1. Geométricamente verás que el triángulo rectángulo BCP que queda a la derecha de la altura complementa a la parte del trapecio que queda a la izquierda, formando un rectángulo de base 1,732 y altura 1.
      A = 1,732 * 1 = 1,732 u²

      Hay infinitos trapecios isósceles con esa diagonal y esa altura.
      Pero se cumple (propiedad) que:
      DP = (AB + DC) / 2
      Y, por Pitágoras:
      DP = √(2² – 1²) = 1,732
      De todos los trapecios posibles, a uno se le puede inscribir una circunferencia. Entonces hay esta otra propiedad:
      h² = (AB + DC) / 2
      1² = 1 = (AB + DC) / 2
      AB = 1 / DC
      Dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando AB en la primera resulta una ecuación cuadrática con raíces 3,146 y 0,318, que son las bases del trapecio. La altura es 1.
      Aplicar la fórmula general del área del trapecio. Y resulta una área de 1,732 u²

    2. El cálculo de DP que es uno de los catetos está claro.
      Pero ¿la fórmula de esta propiedad?
      Gracias.

      «De todos los trapecios posibles, a uno se le puede inscribir una circunferencia. Entonces hay esta otra propiedad:
      h² = (AB + DC) / 2
      1² = 1 = (AB + DC) / 2
      AB = 1 / DC
      Dos ecuaciones con dos incógnitas. Despejando AB en la primera resulta una ecuación cuadrática con raíces 3,146 y 0,318, que son las bases del trapecio. La altura es 1.»

  5. En un trapecio isósceles se unen los puntos medios de los lados. Hallar el perímetro del polígono formado, si una diagonal del trapecio mide 2 cm.

    1. Son dos fórmulas diferentes.
      Una, es la del área del trapecio isósceles sabiendo los cuatro lados en la que, bajo la raíz aparece el binomio «a-b».
      Otra cosa es la resolución del ejercicio, del que se saben las bases y la altura. Aquí se usa el teorema de Pitágoras. Para hallar el lado oblicuo c, que sería la hipotenusa, los catetos son la altura h y el segmento (a – b) / 2. Se suman los cuadrados de los catetos.

  6. Consulta. Tengo que saber la base inferior, teniendo como datos que los paralelos miden 34 metros y la perpendicular superior 80. Como se la base que me falta?

  7. Te hago una consulta. Debo saber ambas bases, teniendo solamente como dato que los lados oblicuos son de 34,5 metros. Cual seria la fórmula y respuesta? desde ya gracias

    1. Que faltan datos. Con 34,5 m de lados oblicuos se podrían contruir infinitos trapecios isósceles.

  8. Conociendo que los lados no parelelos de un trapecio son iguales y además que dos de sus ángulos bases son iguales, serían estas dos condiciones suficiente para decir que el trapecio es isósceles?

    1. Para que un trapecio sea isósceles, sus ángulos opuestos no paralelos tienen que ser iguales.
      En esta página se dice:
      Los lados oblicuos son iguales.
      También se dice en esta página:
      Un trapecio isósceles es un trapecio con bases a y b y los ángulos iguales dos a dos.
      Por tanto, cualquier de las dos condiciones por separado son suficientes para que el trapecio sea isósceles.

  9. Hola buen dia, tengo un problema: un trapecio isósceles tiene área de (18 por raiz cuadrada de 3), y perímetro de 24. Si dos de los ángulos iguales tiene medida de 60 grados , calcule las dimensiones de los lados y la altura del trapecio

    1. Resuelve este sistema:
      Perímetro = 24 = a + b + 2c
      cos 60° = (√3)/2 = (a – b) / 2c
      Área = 18√3 = (c / 2)√[4c² – (a – b)²]
      Y la altura del trapecio:
      h = (c / 2)√3

  10. El cuadrilátero ABCD es trapecio isósceles a la circunferencia. Si las bases del trapecio son 12 y 24 ¿cuál es el valor del radio de la circunferencia?
    a) raiz de 360
    b) raiz de 90
    c) raiz de 40
    d) raiz de 10
    e) 6
    Y no me da por si me puedes ayudar

    1. Aunque no lo indiques, supongo que es inscrito a una circunferencia.
      En esta página tienes la forma de hallar los lados oblicuos iguales (18).
      También tienes la fórmula del área del trapecio isósceles en función de sus lados.
      Y, finalmente, la fórmula del radio en función del área y un par de lados opuestos.
      r = 13,11
      Espero que te sirva.

  11. Tengo un problema donde tengo un trapecio isóceles de bases 8 y 18, desconozco sus lados y tiene una circunferencia inscrita. ¿Cómo puedo hallar la altura, radio y/ o los lados? para poder hallar el área del trapecio

    1. Lo referente a la circunferencia inscrita a un trapecio isósceles lo tienes en esta misma página.
      Para que se pueda inscribir una circunferencia a un trapecio:
      a + b = c + d
      8 + 18 = 26 = c + d = 2c
      c = 13
      Tienes los cuatro lados
      Aplica el área de un trapecio isósceles conociendo los cuatro lados, que está en esta página en área de un trapecio isósceles de UNIVERSO FÓRMULAS. El área será 156.
      La altura es 156 / 13 = 12, que se deduce de la fórmula general del trapecio.
      El radio, la mitad de la altura, o sea 6

  12. buenas tengo un problema que consiste en que un trapecio isosceles uno de sus lados no paralelos que mide 15cm es perpendicular con una de las diagonales cuya medida es 20cm .¿cuanto mide la mediana del trapecio?

    1. Por Pitágoras tienes la base mayor:
      15² + 20² = 625
      Mase mayor = 25 cm
      Triángulos semejantes por semejanza de triángulos por tener sus lados perpendiculares, el triángulo mayor, formado por 25 cm, 20 cm y 15 cm.
      Triángulo menor, formado por lado oblicuo 15 cm (hipotenusa), altura del trapecio (cateto que desconoces) y cateto proyección de 15 sobre 25, llámale x, que vas a hallar, por semejanza de triángulos:
      25/15 = 15/x
      x = 9 cm
      Le restas las dos proyecciones 9 + 9 = 18 a la base 25 y te da 7 cm que es la base menor.
      Mediana del trapecio = (25 + 7) / 2 = 16 cm

    1. Proyección de uno de los lados oblicuos iguales c sobre la base mayor:
      = (4 – 2) / 2 = 1
      Observa el triángulo rectángulo de catetos 1(la proyección) y h con hipotenusa c (un lado oblicuo).
      tan 55° = h / 1
      h = tan 55° = 1,43 cm
      Área trapecio = h * (4 + 2)/2 = 1,43 * 3 = 4,29 cm²
      Ahora, observa otro triángulo rectángulo formado por los catetos 4 -(2/2) = 3 cm (el mayor menos la proyección anterior de 1 cm), por la altura 1,43 cm. La hipotenusa, por Pitágoras, es la diagonal D = 3,32 cm.

  13. Area de un trapecio conociendo su diagonal
    Tengo estos datos:

    diagonal: 8,0622
    Lado c: 5
    Lado d: 5
    base arriba: 4
    base abajo: 10

    1. En el apartado área de un trapecio isósceles tienes una fórmula del área conociendo sus cuatro lados, siendo c y d iguales por ser isósceles.
      No interviene la diagonal.
      El resultado es 28.

  14. Hola buenas Cómo saco los ángulos, para una estructura de hierro , de base mayor es 800 base menor 580 y la altura de 74. necesito saber los ángulos para hacer los cortes gracias .

    1. Obtiene la mitad de la diferencia de las bases:
      (800 – 580) / 2 = 110
      Este es el cateto que con la altura y un lado oblicuo forman un triángulo rectángulo.
      Al ángulo menor le llamas α
      tan α = 74 / 110 = 0,673
      arc tan 0,673 = 33,93° = α
      (360° – 2 * 33,93°) /2 = 146,07° será tu ángulo mayor β

  15. Lawrence Lopez

    las medidas de los angulos de la base de un triangulo isosceles se representa por x-20 y 3x-40. encuentre la medida del angulo

    1. Como los dos ángulos de la base son iguales:
      x-20 = 3x-40
      20 = 2x
      x = 20 / 2 = 10
      α = 10-20 = -10°
      Si tus datos están bien, da un ángulo negativo.

    1. Un trapecio isósceles es una figura plana. No tiene volumen.
      Quizás te refieras a un tronco de pirámide recto

  16. Freddy Landaeta

    ¿Cómo es posible calcular el área de un trapecio isósceles, conociendo sus dos bases, pero desconociendo la altura y los dos lados oblícuos? ¿Es posible hacer ese cálculo?

    1. Puedes considerar que está circunscrito a una circunferencia y así calcular la altura

    2. El problema es el mismo. No puedes saber con los datos de las bases a qué circunferencia está circunscrito.

  17. felipe quiñones

    necesito ayuda… hay que hallar el perimetro de un trapecio isósceles con bases de 4 y 8 cm y los otros dos lados de 5

  18. 1)En un trapecio isósceles se unen los puntos medios de los lados. Halla el perímetro del cuadrilátero formado, si una diagonal del trapecio mide 6 cm.
    2)Los diagonales de un trapecio trisecan a la mediana. Halla la relación entre la base menor y la base mayor.

    1. Mira la figura de Elementos y propiedades del trapecio isósceles en UNIVERSO FÓRMULAS.
      Segmento m de la mediana (oq) = (a – b) / 2
      Segmentos de la mediana no = qr = b / 2.
      Como las diagonales trisectan a la mediana:
      no = oq = qr
      (a – b) / 2 = b / 2
      2a – 2b = 2b
      a = 2b
      La base mayor es doble que la menor.

  19. Hola necesito resolver este problema: abcd trapecio isosceles, angulo b =2x+45°
    angulo c = 3x+15°
    calcular: x,angulo b,c,a y d

    1. En un trapecio, como todo rectángulo, sus ángulos interiores suman 360°
      2b+2c = 360°
      2(2x+45) + 2(3x + 15) = 360
      Despejar la x
      Sustituir en las dos expresiones de b y c

    1. ¿A qué te refieres con la horizontal y el lado? Tanto si la horizontal es una paralela a las bases y el lado, el oblicuo, u otra combinación, falta un dato.

  20. Rosa Mercedes Aranda Corzano

    Muy bien explicado los problemas; sin embargo dentro de todo lo que busco, no encuentro una solución a este problema. podría ayudarme? Hallar el area de un trapecio isosceles de bases 10 y 20, en el cual dos angulos interiores miden x y 3x

    1. Los ángulos interiores de todo cuadrilátero suman 360°.
      2(x) + 2(3x) = 360°
      8x = 360°
      x = 45°
      La proyección de la base menor sobre la mayor deja dos segmentos de (20-10)/2 = 5
      Como los ángulos sobre la base menor miden 45°, los dos triángulos rectángulos formados con los lados oblicuos como hipotenusas tendran como catetos 5, luego la altura del trapecio es 5.
      Área = 5*(20+10)/2 = 75

  21. 1) En un trapecio isósceles, la altura mide igual que la mediana. Calcula el ángulo que forman las diagonales del trapecio al intersectarse.

    2) En un trapecio rectangular ABCD, recto en A y D, las bases miden AB = 9 cm y CD=25cm. Halla la altura del trapecio si las diagonales son perpendiculares.

    1. Por construcción geométrica y semejanza de triángulos a partir del cuadrado que forman la mediana y la altura, verás que el ángulo que forman las diagonales es siempre de 90°
      La altura del trapecio rectángulo es 15 cm.

  22. TRAPECIO ISOCELES CON PERIMETRO DE 64 CM, LA ALTURA DE 12 CM Y LA BMAYOR SUPERA EN 10 UNIDADES A LA B MENOR. HALLAR LA LONGITUD DE LAS BASES Y EL AREA DEL TRAPECIO

    1. Base mayor a = b + 10
      Perímetro = a + b + 2c = (b + 10) + b + 2c = 64
      simplificando
      b + c = 27
      La proyección de b sobre a deja dos segmentos de 5 cm. Cada uno de ellos es el cateto (el otro es la altura h = 12) de un triángulo rectángulo de hipotenusa c, que es uno de los lados oblicuos.
      Pitágoras
      122 + 52 = c2
      c = 10,9 cm
      b = 27 – 10,9 = 16,1 cm
      Base mayor a = 16,1 + 10 = 26,1cm
      Área = (a +b)*h/2 = 253 cm2

  23. Dadas las bases» x» e «y «de un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia de radio conocido «r» y de area dada . Como puedo obtener el lado oblicuo «l» en función de la semisuma de las bases es decir «l»=(x+y)/2.

    1. El área de un trapecio es A = (x + y)/2.
      x e y son las bases, según planteas
      En todo trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia se verifica que:
      x + y = l + l = 2l
      Luego Área = (x + y)/2 * h
      Como, al estar circunscrito, ha de ser h = 2r
      (x + y)/2 = Á / 2r = l

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