Los términos algebraicos son expresiones algebraicas formadas por un coeficiente (o parte constante), y variables (o parte literal). Estos elementos no pueden estar unidos entre sí por sumas o restas, aunque sí que puede haber potencias o exponentes. La parte constante o coeficiente puede ser positiva o negativa. Si no está expresada es el uno. Su signo, igualmente, si no figura, es positivo. Igualmente, si no figura un exponente, este también es el 1. En una expresión algebraica, los términos algebraicos que la componen están unidos entre sí por los signos más o menos.
De estos términos algebraicos, el último ejemplo, aunque figure solamente la parte constante, equivale a otro término con una variable elevada a 0. (Toda cantidad elevada a 0 es la unidad).
Los términos algebraicos que figuran en la imagen coloreados en rojo son monomios, porque las potencias a la que están elevadas las variables son números naturales o enteros positivos. (Consideraremos el 0 como un número natural).
- Elementos de un término algebraico
- Operaciones con términos algebraicos
- Clases de términos algebraicos
Elementos de un término algebraico
Los elementos de un término algebraico son:
- Incógnitas o variables. Son letras que representan valores numéricos desconocidos:
- Parte literal. Son el conjunto de las letras que representan a las incógnitas dentro de cada término. En la parte literal se incluyen los índices de las incógnitas (las potencias, exponentes o veces que una variable se multiplica por sí misma). Si un elemento no lleva índice en la expresión, el índice es el 1. Como estos tres ejemplos:
En la imagen, los dos primeros términos algebraicos son monomios, porque, en su parte literal, las potencias a la que están elevadas las variables son números enteros positivos.
- Coeficiente. Es la parte numérica del término algebraico, de valor fijo y conocido (p.e.: 3 o π). El coeficiente suele ir al principio del término y no tiene porqué ser un número entero, necesariamente. Si el coeficiente no lleva delante signo, se entiende que éste es positivo. El signo del coeficiente determina el signo positivo o negativo del término algebraico. Cuando es el 1, no se escribe:
- Grado. Distinguiremos:
- Grado de un término algebraico. Es el mayor exponente de las variables del término.
El término a) es de grado 5
El término b) es de grado 3 (el de la y)
El término c) es de grado 4 (el de la x)
- Grado absoluto de un término algebraico. Es la suma de los exponentes de las variables del término.
El término a) es de grado 5 (el de la x)
El término b) es de grado absoluto 5 (2 + 3 = 5)
El término c) es de grado absoluto 8 (4 + 1 + 3 = 8)
- Grado relativo respecto a una variable de un término algebraico. Es el exponente de esa variable.
El término a) es de grado relativo 5 respecto a la x.
El término b) es de grado relativo 2 respecto a la x y 3 respecto a la y.
El término c) es de grado relativo 4 respecto a la x, de grado relativo 1 respecto a la y y de grado relativo 3 respecto a la z.
- Grado de un término algebraico. Es el mayor exponente de las variables del término.
- Operadores. Los operadores admitidos dentro de un término algebraico son el producto, la potenciación y la radicación.
Operaciones con términos algebraicos
Suma y resta de términos algebraicos
La suma y la resta de términos algebraicos solamente puede realizarse con términos semejantes, los que tienen la misma parte literal donde se incluyen los exponentes de cada variable.
Consiste en sumar o restar los exponentes manteniendo la parte literal:
No se pueden sumar ni restar términos algebraicos con diferente parte literal.
Ejercicio
Hallar la suma o la resta de estos términos algebraicos:
Solución:
La última operación no puede realizarse por ser diferentes las partes literales.
Multiplicación de términos algebraicos
La multiplicación de términos algebraicos origina otro término algebraico, cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes de los términos factores y, en la parte literal, todas las variables que intervienen. Cada variable, como base, tiene de exponente, en el resultado del producto, la suma de los exponentes de esa letra en sus factores.
El grado absoluto del producto es la suma de los grados absolutos de los factores.
Ejercicio
Hallar el producto de estos términos algebraicos:
Comprobar el grado del producto en el caso c)
Solución:
La operación a) es el producto de una constante por un término algebraico. El resultado es otro término algebraico con la misma parte literal (término algebraico semejante) y de parte numérica el producto de la constante por la parte numérica del término factor.
En el caso c), el grado absoluto del producto, suma de sus índices, es 5 + 9 + 1 = 15. Es la suma de los grados de sus factores. El primer factor es de grado 2 + 4 = 6 y el del segundo factor, 3 + 5 + 1 = 9. La suma de los grados de los factores es 6 + 9 = 15.
División de términos algebraicos
En el resultado, la parte numérica será el cociente de los coeficientes y la parte literal será el producto de todas las variables elevadas a la diferencia de exponentes.
Ejercicio
Hallar el cociente de estos términos:
Solución:
Potencia de un término algebraico
La potencia de un término algebraico es otro término algebraico con cada elemento numérico y literal elevado al exponente indicado en esa potencia.
Ejercicio
Hallar la tercera potencia de este término algebraico:
Solución:
Clases de términos algebraicos
Las clases más importantes de términos algebraicos que existe son los siguientes:
Término algebraico entero
Es el que no tiene parte literal en el denominador:
Término algebraico fraccionario
Es el que tiene parte literal en el denominador:
Término algebraico racional
Es el que tiene no tiene la parte literal bajo un radical, ni índices no enteros.
Los ejemplos de las dos clases anteriores son racionales.
Término algebraico irracional
Tiene elementos de la parte literal bajo un radical, o variables con índices no enteros.
Términos algebraicos semejantes
Los términos que tienen la misma parte literal (las mismas variables con los mismos exponentes). Solo difieren en los coeficientes. Los dos términos algebraicos de la imagen son semejantes:
Se pueden simplificar, sumando o restando sus coeficientes (según su signo), manteniendo la parte literal. El resultado es otro término algebraico:
Términos algebraicos homogéneos
Los términos que tienen el mismo grado absoluto, son homogéneos, como los de la imagen. Los dos son homogéneos porque son de séptimo grado (5 + 2 = 4 + 3 = 7):
Términos algebraicos heterogéneos
Su grado absoluto es diferente (4 + 3 ≠ 2 + 3):
