Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son polinomios de segundo grado igualado a cero. El polinomio tiene una variable, cuyo índice mayor debe ser el 2.
La incógnita es la x. Y a, b y c son los coeficientes. Los coeficientes son números reales. Al coeficiente c se le llama término libre.
- Resolver ecuaciones de segundo grado
- Ecuaciones cuadráticas completas
- Fórmula cuadrática
- Relación entre los coeficientes y las soluciones
- Ecuaciones de segundo grado incompletas
- Ejercicios de ecuaciones cuadráticas
Resolver ecuaciones de segundo grado
Resolver ecuaciones de segundo grado es hallar sus raíces o valores de la incógnita que cumplen con la igualdad.
Una ecuación cuadrática puede tener:
- Dos raíces
- Una raíz doble
- Ninguna raíz
La representación gráfica de una función polinómica de segundo grado es la gráfica de la función cuadrática en forma estándar de la parábola vertical. Si la función la igualamos a cero, tenemos una ecuación cuadrática.
Una raíz de una ecuación, en este caso y si existe, de una ecuación cuadrática, en su gráfica, es el punto, en donde corta al eje X.
Las ramas van hacia arriba si a es positiva y hacia abajo, si a es negativa. El eje de simetría es vertical con ecuación x = -b / 2a.
Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con dos raíces:
La gráfica corta el eje X en dos puntos.
Esta es la gráfica de una ecuación de segundo grado con una raíz doble:
La gráfica corta el eje X en un punto.
Esta es la gráfica de una ecuación cuadrática sin raíces reales:
La gráfica no corta el eje X en ningún punto.
El número de raíces depende del valor del determinante Δ de la fórmula cuadrática.
Ecuaciones cuadráticas completas
En las ecuaciones cuadráticas completas (o ecuaciones de segundo grado completas), los tres coeficientes no son nulos.
Esto son ejemplos de ecuaciones de segundo grado completas:
Porque ninguno de los tres coeficientes son nulos.
Una ecuación de segundo grado puede aparecer de otra manera. A la derecha, estos tres ejemplos están presentados en forma canónica:
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática proporciona las raíces de una ecuación de segundo grado.
Dada una ecuación de segundo grado completa:
Podemos obtener sus raíces con la fórmula cuadrática:
El número de soluciones depende del radical comprendido dentro del radicando de la raíz cuadrada. Se le llama discriminante y se representa con el signo Δ:
Cuando el discriminante es positivo, hay dos soluciones diferentes:
Si el discriminante es nulo, hay dos soluciones iguales:
Pero si el discriminante es negativo, no hay solución real para ese caso:
La fórmula de Muller, poco utilizada, proporciona igualmente las raíces de una ecuación completa de segundo grado:
Demostración de la fórmula cuadrática
La demostración se basa en completar un trinomio cuadrado perfecto (o el cuadrado de un binomio), que es:
Pues, partiendo de la forma general de una ecuación de segundo grado, se pasa el término independiente a la otra parte de la igualdad y se divide todo por el coeficiente a:
Se le añade a los dos miembros de la igualdad el término necesario para que en el primer miembro quede un trinomio cuadrado perfecto:
En el miembro de la izquierda se ha obtenido el cuadrado de un binomio. Se opera en el miembro de la derecha:
Se extrae la raíz cuadrada de los dos miembros de la igualdad y se despeja la x:
Demostrada la fórmula general de la solución de una ecuación completa de segundo grado, llamada fórmula cuadrática.
Relación entre los coeficientes y las soluciones
A partir de la fórmula cuadrática, si sumamos las soluciones:
Y si hacemos el producto de las soluciones:
En el numerador tenemos dos binomios, suma por diferencia, que es la diferencia de cuadrados. Operamos, simplificamos y nos queda:
La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es S = -b/a y el producto P = c/a.
Estas relaciones permiten escribir ecuaciones de segundo grado, partiendo de dos soluciones conocidas x1 y x2, dándole valores reales arbitrarios al coeficiente a:
Si hiciésemos a = 1:
Ecuaciones de segundo grado incompletas
En las ecuaciones de segundo grado incompletas, los coeficientes b y c son nulos o bien alguno de los dos.
Recordemos que una ecuación cuadrática completa es de la forma:
Tipos de ecuaciones de segundo grado incompletas
- Ecuación cuadrática monomial. No tiene los coeficientes b y c. Su solución siempre es 0.
- Ecuación cuadrática pura. El coeficiente b es 0.
Las dos raíces se hallan despejando la x:
Cuando a y c tienen el mismo signo, las raíces son imaginarias, porque aparece una cantidad negativa en la raíz cuadrada.
- Ecuación cuadrática mixta o binomial. El coeficiente c es 0.
Las dos raíces se hallan factorizando:
Una de ellas siempre es nula:
Ejercicios
Ejercicio 1
Dada la ecuación de segundo grado completa:
Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
Solución:
Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.
Ejercicio 2
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 0. La ecuación tiene dos raíces reales e iguales. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces iguales, son 2 y 2.
b) La gráfica es una parábola vertical, dirigida hacia arriba, porque el coeficiente a es positivo. Corta al eje X en un punto:
Ejercicio 3
Dada la ecuación de segundo grado completa:
a) Encontrar el número de raíces y, si las tuviere, su tipo.
b) Representación gráfica.
Solución:
a) Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = -8. Es negativo. La ecuación no tiene dos raíces reales.
b) La representación gráfica es una parábola vertical dirigida hacia arriba, porque a es positivo. No corta el eje X:
El eje de simetría es vertical en:
Ejercicio 4
Se sabe que -1 y 2 son las raíces de una ecuación de segundo grado. Proponer dos ecuaciones que satisfagan estas soluciones.
Solución:
Partiendo de la relación entre los coeficientes y las soluciones, en concreto entre la suma S y el producto P de las raíces, una ecuación cuadrática se puede escribir así:
Dando arbitrariamente al coeficiente a los valores 1 y 2 obtenemos estas dos ecuaciones cuadráticas equivalentes que satisfacen las soluciones propuestas por el ejercicio:
Comprobación del resultado:
Satisfacen las dos ecuaciones.
Ejercicio 5
Hallar las soluciones, si las hay, de esta ecuación de segundo grado incompleta monomial:
Solución:
Por su estructura, la solución de este tipo de ecuaciones es siempre cero. Veamos:
Ejercicio 6
Hallar las soluciones, si las hay, de estas dos ecuaciones cuadráticas incompletas puras:
Solución:
En ambos casos, se despeja directamente la incógnita:
a) Existen dos soluciones, la positiva y la negativa: +2 y – 2.
b) No hay soluciones reales, porque el radicando es negativo.
Ejercicio 7
Hallar las soluciones, si las hay, de esta ecuación cuadrática mixta o binomial:
Solución:
En estos tipos se factoriza. Siempre, una solución es nula porque hace al primer factor cero. Hay que hallar, pues, el valor que anule al segundo factor:
