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Un triángulo es un polígono de tres lados (a, b y c). Los lados confluyen dos a dos en tres puntos, llamados vértices (A, B y C).
Los tres ángulos interiores del triángulo suman 180° (π radianes).
- Elementos de un triángulo
- Tipos de un triángulo
- Área del triángulo
- Perímetro del triángulo
- Centros de un triángulo
- Teorema de Pitágoras
- Teoremas trigonometricos
Elementos de un triángulo
En un triángulo se pueden diferenciar los siguientes elementos:
- Vértices: puntos en los que confluyen dos lados. Tiene 3 vértices (A, B y C).
- Lados: segmentos que unen dos vértices consecutivos del triángulo y que delimitan su perímetro. Tiene 3 lados (a, b y c).
- Ángulos interiores: ángulo que forman dos lados consecutivos en el vértice en el que confluyen. Hay 3 ángulos interiores (α, β y γ). Los ángulos interiores del triángulo suman 180° (¿por qué suman 180°?):
- Ángulos exteriores: ángulo de un lado con la prolongación exterior del lado consecutivo. Hay 3 ángulos exteriores (θ). Los ángulos exteriores siempre suman 360°.
- Altura de un triángulo: La altura de un triángulo (h) es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto. Un triángulo tiene tres alturas, según el vértice de referencia que se escoja. Las tres alturas confluyen en un punto llamado ortocentro.
Tipos de triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según sus lados o según sus ángulos.
Tipos de triángulos según sus lados
- Triángulo equilátero: tiene todos sus lados iguales. Por tanto, sus ángulos también son los tres iguales. Es decir:
Como todos los ángulos son iguales y suman 180°, todos son de 60° (α=β=γ=60°).
- Triángulo isósceles: tiene dos lados iguales. Por lo tanto, dos de sus ángulos también son iguales.
El ángulo desigual β es el que forman los dos lados iguales (a y c).
- Triángulo escaleno: los tres lados son desiguales, por lo que los tres ángulos también son diferentes. Es decir:
Tipos de triángulos según sus ángulos
- Triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es de 90°. Los otros dos son agudos (menores de 90°).
- Triángulo oblicuángulo: no tiene ningún ángulo recto (90°). Són triángulos oblicuángulos los triángulos acutángulos y los triángulos obtusángulos.
- Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores de 90°).
- Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es mayor a 90°. Los otros dos son agudos (menores de 90°).
A continuación os mostramos una tabla de los triángulos según sus ángulos y lados.
Desigualdad triangular
La desigualdad triangular (o desigualdad del triángulo) es un teorema que afirma que:
En todos los triángulos se cumple que la longitud de uno de los lados es menor que la suma de los otros dos:
Área del triángulo
El área de un triángulo se calcula por diferentes procedimientos según el tipo de triángulos de que se trate o de los elementos que se conozcan de ese triángulo.
La fórmula general para calcular el área de un triángulo es:
Veamos cual es la fórmula según el tipo de triángulo:
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Nota. Cedida por el autor: José María Pareja Marcano. Químico. Sevilla (España).
Área de un triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo, será un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:
Área de un triángulo isósceles
El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:
Área de un triángulo escaleno
El área del triángulo escaleno puede calcularse mediante la fórmula de Herón si se conocen todos sus lados (a, b y c).
También se podría calcular si se conoce un lado (b) y la altura (h) asociada a dicho lado.
Área del triángulo rectángulo
El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º), por lo que su altura coincide con uno de sus lados (a). El área es la mitad del producto de los dos lados que forman el ángulo recto (catetos a y b).
Fórmula de Herón
La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c).
Perímetro del triángulo
En cualquier triángulo, su perímetro es la suma de sus tres lados.
La fórmula del perímetro de un triángulo es diferente según el tipo de triángulos. La fórmula general para calcular el perímetro de un triángulo es:
Veamos como se calcula el perímetro del triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo escaleno y triángulo rectángulo.
Perímetro de un triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales, por lo que su perímetro será tres veces la longitud de uno de sus lados (a).
Perímetro de un triángulo isósceles
El perímetro de un triángulo isósceles se obtiene como suma de los tres lados del triángulo. Al tener dos lados iguales, el perímetro es dos veces el lado repetido (a) más el lado desigual (b).
Perímetro de un triángulo escaleno
El triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales. Su perímetro es la suma de éstos tres.
Ángulos interiores del triángulo
En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos interiores es siempre 180° (en grados sexagesimales) o, en radianes, π. Es decir:
En efecto, si trazamos una recta OP paralela al lado AC, sobre el vértice B, se formará un ángulo llano de 180°, suma de los tres ángulos interiores del triángulo.
En el caso particular del triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos es de 90 o, en radianes, π/2.
Centros de un triángulo
Los centros de un triángulo son:
Baricentro (o centroide) de un triángulo
El baricentro (o centroide) G es el punto donde concurren las tres medianas del triángulo.
Las medianas (ma, mb y mc) son los segmentos que unen uno de sus vértices con el centro del lado opuesto.
Se cumple la siguiente propiedad: la distancia entre el baricentro (centroide) y su vértice correspondiente es el doble de la distancia entre el baricentro y el lado opuesto. Es decir, la distancia del centroide a cada vértice es de 2/3 la longitud de cada mediana.
En física, el baricentro (G) sería el centro de gravedad del triángulo.
El centroide está siempre en el interior del triángulo.
Ortocentro de un triángulo
El ortocentro H es el punto intersección de las tres alturas de un triángulo.
Las alturas (ha, hb y hc) son los segmentos perpendiculares a cada lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También pueden entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
El ortocentro podría estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos coincidirá con el vértice del ángulo recto. En los acutángulos, será un punto interior.
En este dibujo se observa como el ortocentro es exterior en un triángulo obtusángulo.
Circuncentro de un triángulo
El circuncentro (O) es el punto donde intersectan las tres mediatrices del triángulo.
Las mediatrices de un triángulo (Ma, Mb y Mc) son las mediatrices asociadas a cada uno de sus lados, es decir, las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el punto medio (o centro) de éste.
El circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita en el triángulo, ya que equidista de sus tres vértices.
El radio (R) de la circunferencia circunscrita se puede hallar a partir de los tres lados y el semiperímetro del triángulo:
El circuncentro puede estar en el exterior del triángulo, en el caso de que sea un triángulo obtusángulo. En los rectángulos el circuncentro se encontrará en el punto central de la hipotenusa (lado opuesto al ángulo de 90°). En los acutángulos, será un punto interior.
Incentro de un triángulo
El incentro (I) es la intersección de las tres bisectrices del triángulo.
Las bisectrices de un triángulo (Ba, Bb y Bc) son los tres segmentos que, dividiendo cada uno de sus tres ángulos en dos partes iguales, termina en el correspondiente lado opuesto.
El incentro (I) es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
El radio de la circunferencia inscrita se halla mediante la fórmula:
El incentro se encuentra siempre en el interior del triángulo.
Recta de Euler
En todo triángulo no equilátero, se cumple la siguiente propiedad: el ortocentro (H), el baricentro (G) y el circuncentro (O) están alineados. La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.
Se cumple que la distancia del ortocentro (H) al baricentro (G) es el doble que la del baricentro (G) al circuncentro (O). O dicho de otro modo, el segmento HG es el doble que el GO.
En el caso de un triángulo equilátero, el baricentro, el ortocentro, el circuncentro y el incentro coinciden en un mismo punto interior, que está a la misma distancia de los tres vértices.
Esta distancia a los tres vértices de un triángulo equilátero es igual a 
desde un lado y, por tanto, 
al vértice, siendo h cualquiera de sus tres alturas.
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo y su hipotenusa.
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90°) y dos ángulos menores (<90°).
Los dos lados que forman el ángulo recto son catetos. El lado mayor opuesto al ángulo recto es la hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras enuncia que:
Se pueden construir los dos cuadrados sobre sus catetos (a y b) y el cuadrado sobre la hipotenusa (c).
Geométricamente se puede comprobar que en cualquier triángulo rectángulo se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados formados sobre sus catetos es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa, es decir:
Teoremas trigonometricos
Teorema del seno
El teorema del seno relaciona proporcionalmente los lados y los ángulos de un triángulo. Éste enuncia que:
Cada lado de un triángulo (a, b y c) es directamente proporcional al seno del ángulo opuesto (A, B y C).
La razón entre un lado y el seno del ángulo opuesto es igual al diámetro (el doble del radio, 2R) de la circunferencia (L) en la que se circunscribe el triángulo.
Es decir, todas las razones entre cada lado (a, b y c) y el seno del ángulo opuesto (A, B y C) son directamente proporcionales y dicha proporción es 2R.
Teorema del coseno
El teorema del coseno relaciona un lado del triángulo con los otros dos y el ángulo que forman éstos. El teorema enuncia que:
El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por el coseno del ángulo (A, B o C) que forman.
El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo.
De hecho, si el ángulo A fuese recto (90°), su coseno seria cero, quedando: a2 = b2+c2. Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90°, entonces el coseno sería negativo.
Teorema de la tangente
El teorema de la tangente relaciona las longitudes de dos lados de un triángulo con las tangentes de los dos ángulos opuestos a éstos. Éste enuncia que:
¿que partes componen un triangulo rectángulo?
Consulta la página Triángulo rectángulo de UNIVERSO FÓRMULAS
«Si la altura de un triángulo equilátero es 15 cm, entonces el área de dicho triángulo, en centímetros cuadrados, es igual a:
A) 10√3
B) 30√3
C) 75√3
D) 150√3
Ocupo ayuda con esta pregunta… ¿sabe cuál es la respuesta correcta y como llego a ella?
La C
Mira la fórmula de la altura y del área en la página Triángulo equilátero de UNIVERSO FÓRMULAS.
es muy exclusiva esta pagina visitenla
Muchísimas gracias facilitaron el trabajo de un curso completo … gracias profe
gracias por todas las repuesta
Cual en las repuenta de rectángulos
No te entiendo
Mil gracias «Universo Formulas «, felicitaciones, y sigan así por esforzarse cada día.
Pingback: Investigación – Clase de Física
muy bien explicado y muy completo
como encuentro el tercer lado de un triangulo escaleno si tengo solo el 1er y 2do lado
Ruth: te hace falta saber, por ejemplo, el ángulo que forman esos dos lados.
Sólo con esos datos no hay solución.
¿Como determino que las medianas se intersectan a un tercio del lado correspondiente (respecto de su longitud)?
Consulta la pàgina de Universo Fórmulas «mediana de un triángulo»
Para todos: los tejados tienen forma de triangulo; yo necesitaba la formula, c al cuadrado= a al cuadrado+b alcuadrado. Pora la pendiente de caida del agua
eu nao to conseguindo achar o triangulo acutangulo e a area e o perimetro
Michele, un triángulo acutángulo, que no sea el caso particular de un equilátero o un isósceles (que son acutángulos tambien), es un triángulo escaleno, sólo que no tiene ningun ángulo igual o mayor de 90º. Ve al escaleno.
si van a poner algo q no sean pendejaadas
so true
que fatal jajaja no mentira genial
wooo me encanto me ayudo a memorisar y se lo dije a mi mama
wooooo me encanto me ayuda en poco jajaaja
grasias profe
Excelente contenido
g
Excelente contenido, describe todo bien lo que son los triángulos, sus tipos y hasta cosas que no sabia como la desigualdad.
Gracias.
no me sirve de nada gracias
Lo sentimos, Alejandra. Si nos dijeras qué buscabas y no has encontrado nos podria ser útil.
Gracias.
Es como si el sitio dijera»que un triángulo tiene 3 lados y 3 ángulos» y yo dijera «no es cierto un triángulo blablabla», así que por lo menos agradécele a la pagina por la información y si no te sirve, resérvatelo y agrede de que la pagina, si en el caso te resolvió una duda. Así que te lo digo en buena onda, y que no te pase como a mi, yo te escribo por experiencia en 5º de primaria, y ahora que me dejaron investigar de los triángulos, por que voy en 1º de Secundaria, te recomiendo que analices la información, va Alejandra231
Tengo que calcular una batería de capacitores para mitigar pérdidas por potencia reactiva y me ha sido muy útil refrescar estos conceptos. Muchas gracias.
Esta bién unir electromagnetismo y geometría.
La suma es 180° lo que es π. Y expresan que es 2π.
Hola Felix, tienes toda la razón. La suma de los ángulos de un triángulo son 180º, que son π radianes. Ahora lo corregimos, muchas gracias.