Raíces de un polinomio

Las raíces de un polinomio P(x) son los valores numéricos xi tal que P(xi) = 0.

Cada raíz de un polinomio se obtienen al resolver la ecuación P(x) = 0.

Propiedades de las raíces de un polinomio

  • Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces.
  • Si xi es una raíz del polinomio, éste será divisible por (x – xi).
    Propiedad de divisibilidad en las raíces de un polinomio
  • Halladas todas las raíces, el polinomio se puede factorizar así:
    Propiedad de factorización en las raíces de un polinomio
  • Las raíces de un polinomio son divisores de su término independiente.
  • Si un polinomio no tuviera término independiente, al menos una raíz será cero, porque x es un factor común. Aquí tenemos un polinomio con una raíz cero y otro con dos raíces nulas:
    Propiedad del factor común
  • El polinomio que no tiene raíces enteras se llama polinomio irreductible o primo.

Hallar las raíces de un polinomio

Cómo resolver polinomios:

Dado un polinomio de segundo grado, se iguala a 0:

Expresión de un polinomio en cuadrática

Y la fórmula cuadrática proporciona sus raíces:

Fórmula cuadrática para ecuaciones de segundo grado

Para polinomios de grado superior utilizar el teorema del resto y la regla de Ruffini (o división sintética) para hallar las posibles raíces enteras.

El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.

La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.

El teorema del factor que es el reverso del teorema del resto.

Ejercicios

Ejercicio 1

Encontrar las raíces, si las tuviera, de este polinomio de segundo grado:

Enunciado del ejercicio 1

Solución:

Se iguala a cero:

Igualando a 0 en el ejercicio 1

Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:

Fórmula cuadrática en el ejercicio 1

El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:

Solución en el ejercicio 1

Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.

Ejercicio 2

Hallar las raíces de este polinomio con el teorema del resto y la regla de Ruffini:

Enunciado del ejercicio 2

Solución:

Se iguala a cero:

Igualando a 0 en el ejercicio 2

Como el polinomio es de cuarto grado, no puede tener más de cuatro raíces. Y estas deben ser divisores de -12, que es el término independiente. Los divisores son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Entre ellos estarán las raíces de la ecuación.

Haciendo los intentos correspondientes con la regla de Ruffini, se llega a:

Solución en el ejercicio 2

Con este procedimiento se ha hallado que las cuatro raíces, distintas y reales, son 1, 2, -2 y 3.

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