Las fracciones algebraicas son el cociente de dos polinomios P(x) / Q(x) en el que el polinomio del denominador no debe de ser nulo.
Las fracciones algebraicas enteras tienen las mismas propiedades que las fracciones con números racionales.
Las fracciones algebraicas simples: sus miembros son expresiones algebraicas enteras.
- Fracción simple propia: el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
- Fracción simple impropia: el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador.
Una fracción simple impropia puede también expresarse como la suma de un polinomio más una fracción propia.
Propiedad
Una fracción algebraica no cambia si se multiplican o se dividen los polinomios del numerador y del denominador por un mismo polinomio distinto de cero.
El resultado son fracciones equivalentes.
Ejemplos de fracciones algebraicas
Veamos algunos ejemplos de fracciones algebraicas
Ejemplos de fracciones equivalentes:
Si el numerador y denominador de una fracción algebraica se dividen por un mismo polinomio, factor común, se habrá hecho una simplificación de la expresión, como es el caso de la segunda fracción de la imagen de arriba.
Pero cuando no existe un factor común al numerador y denominador, esa fracción algebraica es irreducible.
Ejemplos de fracciones irreducibles:
Operaciones con fracciones algebraicas
La suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas tienen las mismas propiedades que las mismas operaciones con fracciones numéricas.
Suma de fracciones algebraicas
En la suma de fracciones algebraicas, (igualmente en la resta de fracciones algebraicas), se aplican mismos procedimientos que en la suma y resta de fracciones numéricas.
- Suma o resta de fracciones con el mismo denominador:
El resultado será otra fracción algebraica cuyo numerador será la suma de los polinomios de los numeradores (o, igualmente la resta de los polinomios de los numeradores). El denominador será el mismo.
- Suma o resta de fracciones con distinto denominador:
Debe hacerse la suma o resta mediante otras fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.
Este denominador será el mínimo común múltiplo, que será el polinomio múltiplo de menor grado de los denominadores.
Para hallarlo, se factorizan los denominadores. El mínimo común múltiplo será el producto de los factores comunes y no comunes, afectados por el mayor exponente.
Lo mismo para la resta con distinto denominador.
Habrá que tener cuidado con los pasos. En primer lugar, se factoriza. (Aquí, en los denominadores):
Se obtiene el mínimo común múltiplo. Sumamos entonces los numeradores y operamos en el numerador para simplificar:
Multiplicación de fracciones algebraicas
Para multiplicar dos fracciones algebraicas racionales, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí:
Factorizando y simplificando el resultado.
Ejemplo de producto de fracciones algebraicas
Realizar la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas:
División de fracciones algebraicas
Para dividir dos fracciones algebraicas, se opera como en la división de fracciones numéricas: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Dicho de otra manera, se obtiene multiplicando «en cruz» las dos fracciones.
Factorizando y simplificando el resultado.
Ejemplo de división de fracciones algebraicas
Realizar la siguiente división de fracciones algebraicas:
