Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas son el cociente de dos polinomios P(x) / Q(x) en el que el polinomio del denominador no debe de ser nulo.

Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas enteras tienen las mismas propiedades que las fracciones con números racionales.

Las fracciones algebraicas simples: sus miembros son expresiones algebraicas enteras.

  • Fracción simple propia: el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
    Fracciones algebraicas simples propias
  • Fracción simple impropia: el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador.
    Fracciones algebraicas simples impropias

    Una fracción simple impropia puede también expresarse como la suma de un polinomio más una fracción propia.

    Ejemplo de fracciones algebraicas simples impropias

Propiedad

Una fracción algebraica no cambia si se multiplican o se dividen los polinomios del numerador y del denominador por un mismo polinomio distinto de cero.

Propiedad de las fracciones algebraicas

El resultado son fracciones equivalentes.

Ejemplos de fracciones algebraicas

Veamos algunos ejemplos de fracciones algebraicas

Ejemplos de las fracciones algebraicas

Ejemplos de fracciones equivalentes:

Ejemplos de las fracciones algebraicas equivalentes

Si el numerador y denominador de una fracción algebraica se dividen por un mismo polinomio, factor común, se habrá hecho una simplificación de la expresión, como es el caso de la segunda fracción de la imagen de arriba.

Pero cuando no existe un factor común al numerador y denominador, esa fracción algebraica es irreducible.

Ejemplos de fracciones irreducibles:

Ejemplos de las fracciones algebraicas irreducibles

Operaciones con fracciones algebraicas

La suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas tienen las mismas propiedades que las mismas operaciones con fracciones numéricas.

Suma de fracciones algebraicas

En la suma de fracciones algebraicas, (igualmente en la resta de fracciones algebraicas), se aplican mismos procedimientos que en la suma y resta de fracciones numéricas.

  1. Suma o resta de fracciones con el mismo denominador:

    El resultado será otra fracción algebraica cuyo numerador será la suma de los polinomios de los numeradores (o, igualmente la resta de los polinomios de los numeradores). El denominador será el mismo.

    Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador
  2. Suma o resta de fracciones con distinto denominador:

    Debe hacerse la suma o resta mediante otras fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador.

    Este denominador será el mínimo común múltiplo, que será el polinomio múltiplo de menor grado de los denominadores.

    Para hallarlo, se factorizan los denominadores. El mínimo común múltiplo será el producto de los factores comunes y no comunes, afectados por el mayor exponente.

    Factorización en la suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

    Lo mismo para la resta con distinto denominador.

    Factorización 2 en la suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

    Habrá que tener cuidado con los pasos. En primer lugar, se factoriza. (Aquí, en los denominadores):

    Factorización 3 en la suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

    Se obtiene el mínimo común múltiplo. Sumamos entonces los numeradores y operamos en el numerador para simplificar:

    Factorización 4 en la suma y resta de fracciones algebraicas con distinto denominador

Multiplicación de fracciones algebraicas

Para multiplicar dos fracciones algebraicas racionales, se multiplican los numeradores y los denominadores entre sí:

Multiplicación de fracciones algebraicas

Factorizando y simplificando el resultado.

Ejemplo de producto de fracciones algebraicas

Realizar la siguiente multiplicación de fracciones algebraicas:

Ejercicio 1 de producto de fracciones algebraicas

División de fracciones algebraicas

Para dividir dos fracciones algebraicas, se opera como en la división de fracciones numéricas: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Dicho de otra manera, se obtiene multiplicando «en cruz» las dos fracciones.

División de fracciones algebraicas

Factorizando y simplificando el resultado.

Ejemplo de división de fracciones algebraicas

Realizar la siguiente división de fracciones algebraicas:

Ejercicio 1 de división de fracciones algebraicas

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