La factorización de polinomios es convertir un polinomio en un producto de polinomios irreducibles (Un polinomio irreducible es el que solamente se puede dividir por sí mismo o por un polinomio nulo).
Si un polinomio tiene una raíz x1 se puede factorizar en:
Si el polinomio factor resultante Q(x) tiene, a su vez, otra raíz x2 se puede seguir factorizando:
En general, un polinomio de grado n, con n raíces, se puede factorizar así:
Si alguna raíz se repitiera k veces, como en este caso en que la raíz 1 se repite k = 2 veces, entonces expresaremos la factorización así:
Para factorizar polinomios se pueden emplear estos procedimientos:
- Factor común
- Factorizar por grupos
- Trinomio cuadrado perfecto
- Factorizar un trinomio
- Trinomios de la forma
- Diferencia de cuadrados
- Suma o diferencia de cubos
- Diferencia de potencias de grado par
- Cuatrinomio cubo perfecto
- Si el polinomio es de grado superior a 2
- Polinomios irreducibles
1. Factor común
Existe una expresión algebraica, con parte literal o no, que se repite como factor en cada término del polinomio, y que se toma como factor común del polinomio. (Especialmente, si no hay término independiente):
2. Factorizar por grupos
Un polinomio que se pueda dividir en grupos de igual número de monomios, en los que, al factorizarlos, se obtenga un polinomio repetido en todos los grupos. Y este polinomio repetido, a su vez, será factor común. Se habrá sacado factor común dos veces. Como en este ejemplo:
Y x -3 es el polinomio repetido.
Ver un ejercicio resuelto.
3. Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es el resultado de desarrollar un binomio al cuadrado. Este es un caso de producto notable.
De los tres términos de este trinomio, dos son positivos y el cuadrado de los dos términos o monomios constituyentes del binomio al cuadrado buscado. El tercer término es el doble del producto de estos dos términos binomiales, afectado por el signo que los separa.
Ver un ejercicio resuelto.
4. Factorizar un trinomio
- Sumar y restar. Hay trinomios como éste de cuarto grado:
Se ve que, de los tres términos de este trinomio, los dos primeros son el cuadrado de los dos términos o monomios constituyentes del binomio al cuadrado buscado. Pero el tercer término no es el doble del producto de estos dos términos del binomio.
La diferencia entre el doble productos del primero por el segundo, que le correspondería a un trinomio perfecto y este tercer término es:
La diferencia es: 4x².
Que se suma y se resta al trinomio original. Y se agrupa el positivo para recuperar un trinomio cuadrado perfecto en el primer paréntesis:
Es una diferencia de cuadrados que se factoriza por suma por diferencia:
- De la forma ax² +bx +c. Esta forma general se puede resolver averiguando sus raíces mediante la fórmula cuadrática:
5. Trinomios de la forma x² +ab +(a + b)x
Los trinomios de forma x² +ab +(a + b)x se factorizan así:
6. Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es otro caso de producto notable.
Un binomio que sea diferencia de dos monomios al cuadrado es igual al producto del binomio suma de las bases por el binomio resta de las bases:
Y se ha factorizado la expresión.
7. Suma y diferencia de cubos
Suma de cubos
Se toma esta factorización, teniendo bien en cuenta los signos:
Y se ha factorizado la expresión, con el binomio de la suma de las bases.
Resta de cubos
El mismo procedimiento, pero atendiendo al cambio de signos:
Y se ha factorizado la expresión, con el binomio de la resta de las bases.
8. Diferencia de potencias de grado par
La suma de potencias de grado par no es factorizable, pero sí la diferencia. En este segundo caso se puede dividir tanto por la suma como por la diferencia de las bases de los monomios potencia:
Diferencia de potencias de cuarto grado
Se puede factorizar polinomios tanto con la suma como con la resta de las bases:
- Factorizando con la suma de las bases:
- Factorizando con la resta de las bases:
9. Cuatrimonio cubo perfecto
El cuatrinomio cubo perfecto se factoriza, ya que es la operación inversa al cubo de un binomio:
10. Si el polinomio es de grado superior a 2
Cuando el polinomio es de grado superior a 2 y sus raíces son enteras, se puede factorizar mediante el teorema del resto y la regla de Ruffini.
El teorema del resto informa que un valor a es una raíz de P(x) si y solamente si el resto R de P(x) / (x – a) es nulo. Dicho de otra manera, que esa división debe ser exacta.
Una consecuencia del teorema del resto es el teorema del factor: Un polinomio P(x) es divisible por (x – a), si, y solo si, el resultado de reemplazar en P(x), x por a, resulta P(a) = 0. El resto de la división será nulo.
Las raíces obtenidas son divisores del término independiente del polinomio (el término que no tiene x).
La regla de Ruffini (o división sintética), es un buen instrumento para aplicar el teorema del resto, cuando existe alguna raíz a entera.
Las raíces enteras solamente están entre los divisores del término independiente del polinomio.
Ver un ejercicio resuelto.
Si el polinomio de grado superior a 2 no tiene raíces enteras, quizás no se pueda factorizar:
11. Polinomios irreducibles
Un polinomio irreducible o polinomio primo es aquel que no puede descomponerse en factores. No tiene raíces enteras.
Estos polinomios son irreducibles:
Ejercicios de factorización de polinomios
Ejercicio 1
Factorizar por grupos este polinomio.
Solución:
Se busca un binomio repetido en dos grupos y se factoriza:
Ejercicio 2
Comprobar que este trinomio es cuadrado perfecto y factorizarlo:
Solución:
Se comprueba que el primer monomio es el cuadrado de 3x, el segundo monomio es el cuadrado de 3 y el tercer término o monomio es el doble producto del primero por el segundo, con el signo positivo en este caso, luego:
La expresión conseguida es el producto de dos binomios iguales o cuadrado de un binomio, que será el polinomio factorizado.
Ejercicio 3
Ver si se puede factorizar este polinomio de segundo grado mediante la fórmula cuadrática:
Solución:
Se aplica la fórmula cuadrática a sus coeficientes:
El discriminante Δ = 81 es positivo. La ecuación tiene dos raíces reales y distintas. Resolvamos la fórmula cuadrática:
Las dos raíces, distintas y reales, son –1/2 y –5.
Ejercicio 4
Factorizar este polinomio con el teorema del resto y la regla de Ruffini:
Solución:
Basándonos en el teorema del resto, los divisores del término independiente 12 son: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Entre ellos estarán las raíces de la ecuación, las que harán P(xi) = 0.
Colocamos ordenadamente los coeficientes de los términos, de mayor a menor grado. Si faltase alguno, en su lugar se pondría un 0. Todo esto en la parte superior entre dos líneas perpendiculares. Se baja debajo de la línea horizontal el primer coeficiente. Sin operar sobre él. Como se ve en la figura:
Se hacen intentos con los divisores. Probamos con el 1, que se correspondería con factorizar con el binomio (x – 1). El 1 se coloca en el ángulo superior izquierdo que forman las dos líneas. Se multiplica por el primer coeficiente que hemos bajado y el resultado (1) se coloca debajo de la segunda columna, la del segundo coeficiente:
Se suma esa columna. El resultado es -3, que se coloca debajo de la línea horizontal. Se repite la operativa, volviendo a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por -3 y el resultado (-3) se coloca en la tercera columna, la del tercer coeficiente. Se realiza la operación de la tercera columna y la suma es -4.
Se repite la operativa. Se sube el -4 a la cuarta columna. La suma de esa columna es 12. Se vuelve a multiplicar el 1 del ángulo superior izquierdo por 12 y el resultado (12) se coloca en la quinta columna. El resultado al final es 12 – 12 = 0.
El objetivo de la regla es que este último número sea el 0. Este número es el resto de la división. Si hubiera sido otro, deberíamos repetir el proceso con otro de los divisores de otro.
Ahora se ha hecho una primera factorización de la ecuación y tenemos una primera raíz: el 1. Los coeficientes del segundo factor polinómico son los obtenidos bajo la línea horizontal en este primer proceso y que se han marcado en rojo.
Volvemos a iniciar el procedimiento con la nueva expresión polinómica, ahora de tercer grado. Realizamos el mismo proceso descrito con un intento con el divisor -1 del término libre 12. Con los mismos pasos anteriores, se ha llegado al último número diferente de 0 (12). Por lo tanto, -1 no es una raíz de la ecuación:
Lo repetimos con el polinomio de tercer grado donde nos habíamos quedado, ahora con el divisor 2 del término libre 12. En la imagen vemos que sí que se llega a un resto de 0. Por lo que 2 sí que es otra raíz de la ecuación:
Al ser raíz, los tres números en rojo de la izquierda son los coeficientes de un polinomio, ahora de segundo grado. Podemos expresar la ecuación inicial con esta factorización:
Las raíces del tercer polinomio se pueden hallar con la fórmula general de resolución de las ecuaciones de segundo grado (lo haremos al final), pero vamos a avanzar con la regla de Ruffini. Ahora probamos con el divisor -2:
Se ha llegado a un 0 a la derecha, luego -2 también es raíz de la ecuación. Bajo de la barra han quedado los coeficientes 1 y -3. Como -3 es el término libre del último polinomio alcanzado, 1 será el coeficiente de primer grado de x. La factorización total queda así:
