Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado con una incógnita (o ecuaciones lineales con una incógnita) son la forma más simple de las ecuaciones de primer grado. Son las que se pueden transformar en otra ecuación equivalente del tipo:

Siendo a y b números y x la única incógnita.

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita:

• Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo.
  

  Cabe remarcar que es igualmente válido hacer la agrupación de la variable a la derecha y de los números a la izquierda, pero nos vamos a centrar en el otro caso.

• Si hay paréntesis, el elemento que multiplica o divide al paréntesis se multiplicará o dividirá por los elementos que hay dentro del paréntesis.
  
• Cuando hay fracciones, se transforman todos los términos para que tengan un común denominador. Para ello se buscará el mínimo común múltiplo (ver operaciones con fracciones).
  

  En este caso el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores es 12. Se reduce a común denominador. Operando, se eliminan los denominadores:

  
• El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo.
  
• Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución.
  
• Conviene siempre comprobar la solución, colocándola en la primera ecuación en el lugar de la incógnita.
  

Una ecuación de primer grado puede tener una solución:

Ninguna:

Ningún valor de x satisface la ecuación.

O admitir cualquier solución:

Esta ecuación, en realidad sería una identidad.

Ejercicio

Resolver esta ecuación de primer grado con una incógnita:

Solución:

Se reducen todos los términos a común denominador. El mínimo común múltiplo de 3, 2 y 5 es 30:

Multiplicando todos los términos por 30, se eliminan los denominadores y la igualdad se mantiene:

Se eliminan los paréntesis, multiplicando los factores de cada uno por sus elementos interiores:

Se agrupan los términos con la variable a la izquierda de la igualdad y los términos libres a la derecha. Los términos que pasan a otra parte, cambian de signo. Una vez agrupados, se opera:

El coeficiente del término de la variable aislada, si está multiplicando, pasa dividiendo y viceversa. Y con el mismo signo. Una vez aislada la incógnita, se puede hallar la solución:

La solución es 5. Se comprueba el resultado en la ecuación original.

La solución es correcta.