Imagen y antiimagen

La imagen y antiimagen son los elementos que hacen corresponder una función.

Imagen

Una función f es la relación que asigna a un elemento de un conjunto X otro elemento del conjunto Y.

La imagen de un elemento x mediante f es el elemento y que le hace corresponder la función a un valor x.

Todos los elementos de X tienen, como mucho, una imagen en Y.

El conjunto de todas las imágenes del conjunto X forman el recorrido de la función (Rec f o Im f). Este conjunto también se denomina conjunto imagen de f.

Formalmente se define el recorrido de una función como:

Ejemplo de la imagen

Calcular la imagen de x=1 y x=3 de mediante la función:

• Calculamos primero la imagen de x=1:
  
• Ahora se calcula la imagen de x=3:
  

Se obtiene que la imagen de 1 es f(1)=1 y la de 3 f(3)=1,5.

Antiimagen

La antiimagen mediante una función f de un elemento y del conjunto final es el elemento (o elementos) x tales que la imagen de x es y. Es decir:

Los elementos de Y pueden tener una o varias antiimágenes en X.

Al conjunto de todas las antiimágenes del conjunto final Y forman el dominio de la función (Dom f o D).

Cálculo de la antiimagen

La antiimagen mediante una función f de un elemento y se puede calcular mediante el seguiente procedimiento:

1. Calcular la función inversa, es decir, f ^-1. Para ello, a partir de la función y=f(x), debemos poner x en función de y.

   Por ejemplo si y=f(x)=x-2, entonces x=y+2 y tendríamos que f ^-1(x)=x+2.

2. Aplicar f ^-1 sobre y, ya que la antiimagen de y será f ^-1(y).

Ejemplo de la antiimagen

Calcular la antiimagen de y=10 siendo la función f(x)=x²+1.

1. Se calcula la función inversa de f.
   
2. Aplicamos la función f^-1 en y=10.
   

   Y se obtiene que y=10 tiene dos antiimágenes, x₁=-3 y x₂=3.