Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x1 y x2 del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) ≥ f(x2).

También se puede estudiar el decrecimiento a partir de la derivada. Una función f es decreciente si para todo punto x del dominio la derivada es negativa, es decir f ’(x) ≤ 0.
La función es estrictamente decreciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x1 y x2 tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2).
Función decreciente en un intervalo
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

Ejemplo de decrecimiento en un intervalo
Función decreciente en un punto
Sea una función f derivable en el punto a.
La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.

Ejemplo de decrecimiento en un punto
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.
Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.
- Derivar la función, obteniendo f ’(x).
- Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
- Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.
Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían (-∞,1) , (1,3) y (3,+∞) .
- Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.
- A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento
Sea la función f definida en los número reales (intervalo (-∞,+∞) ):

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.

- Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
- Hallamos las raíces de la derivada:
- Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
- Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
- Hallamos que:
- f es creciente en (-∞,0) y en (2,+∞) .
- f es decreciente en (0,2) .
Ejemplo de función decreciente en un intervalo
Estudiar y demostrar que la función f(x)=x2 es decreciente en los intervalos [-2,-1].

En [-2,-1], los extremos del intervalo son a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x1=-1,8 y x2=-1,2.
![Cálculo del crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [-2,-1].](/imagenes/formulas/matematicas/analisis/ejemplo-crecimiento-decrecimiento-intervalo-1.jpg)
La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x1 y x2, por lo que la función es decreciente en [-2,-1].
Ejemplo de función decreciente en un punto
Comprobar que la función f(x)=x3-5x2+5x+4 es creciente en el punto x=2.

Primero calcularemos la derivada de la función f:
