Función decreciente

Una función decreciente f es una función tal que al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

Es decir, la función f es decreciente si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del dominio tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) ≥ f(x₂).

También se puede estudiar el decrecimiento a partir de la derivada. Una función f es decreciente si para todo punto x del dominio la derivada es negativa, es decir f ’(x) ≤ 0.

La función es estrictamente decreciente en todo su dominio si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂).

Función decreciente en un intervalo

Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].

Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x₁ y x₂ del intervalo tales que x₁<x₂, se cumple que f(x₁) > f(x₂). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.

Ejemplo de decrecimiento en un intervalo

Función decreciente en un punto

Sea una función f derivable en el punto a.

La función f es decreciente en a si f ’(a) < 0. Es decir, es decreciente en a si la derivada es negativa.

Ejemplo de decrecimiento en un punto

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento explican los trozos del dominio en los que la función crece o decrece.

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se realizará el siguiente procedimiento.

1. Derivar la función, obteniendo f ’(x).
2. Hallar las raíces de la derivada, es decir, los x tales que la derivada sea 0.
   
3. Crear intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’.

   Por ejemplo, si una función está definida en todos los números reales (es decir, en (-∞,+∞)) y tiene como raíces el 1 y el 3, entonces los intervalos a estudiar serían  (-∞,1) ,  (1,3)  y  (3,+∞) .

4. Estudiar el signo que toma la derivada en un valor interior de cada intervalo, de manera que:
   

   Por ejemplo, si f ’(2)< 0, que es un punto interior de (1,3), entonces la función es decreciente en dicho intervalo.

5. A partir del paso anterior, obtenemos todos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Ejemplo de intervalos de crecimiento y decrecimiento

Sea la función f definida en los número reales (intervalo  (-∞,+∞) ):

Vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento que tiene.

1. Derivamos la función, obteniendo f ’(x).
   
2. Hallamos las raíces de la derivada:
   
3. Los intervalos abiertos con extremos las raíces de f ’ serán:
   
4. Estudiamos el signo que toma la derivada en los valores interiores de cada intervalo, por ejemplo en el -1, el 1 y el 3:
   
5. Hallamos que:
   • f es creciente en  (-∞,0)  y en  (2,+∞) .
   • f es decreciente en  (0,2) .

Ejemplo de función decreciente en un intervalo

Estudiar y demostrar que la función f(x)=x² es decreciente en los intervalos [-2,-1].

En [-2,-1], los extremos del intervalo son a=-2 y b=-1. Veamos por ejemplo en el x₁=-1,8 y x₂=-1,2.

La función en -1,8 es mayor que en -1,2, y así pasaría para todo par de puntos del intervalo x₁ y x₂, por lo que la función es decreciente en [-2,-1].

Ejemplo de función decreciente en un punto

Comprobar que la función f(x)=x³-5x²+5x+4 es creciente en el punto x=2.

Primero calcularemos la derivada de la función f:

• Veamos en el punto x=0.
  

  La derivada da f ’(0)=5 ≥ 0, por lo que f es creciente en 0.

• Estudiaremos en el punto x=2.
  

  La derivada da f ’(2)=-3 ≤ 0, por lo que f es decreciente en 2.

• Finalmente estudiaremos el punto x=3.
  

  La derivada da f ’(3)=2 ≥ 0, por lo que f es creciente en 3.