Dos funciones f(x) y g(x) son equivalentes en a si se cumple la condición:
Y se escribe así:
O, dicho de otra manera, el límite de su cociente es 1. (O, también, que ambas funciones deben tener el mismo límite en a).
El valor de a puede ser cualquier número real o ±∞.
Ejercicio
Pongamos un ejemplo:
Las dos funciones, en el numerador y la del denominador, son equivalentes en +∞.
La equivalencia de funciones tiene utilidad en matemáticas en el caso de funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea 0 (infinitésimos equivalentes) o en las funciones equivalentes en las que su límite en x → a sea +∞ o -∞(infinitos). Facilita el cálculo de indeterminaciones.
Deben sustituirse funciones equivalentes (infinitésimos o infinitos) en productos o cocientes de funciones, no en su suma o resta, ya que serían indeterminaciones.
Por lo tanto, si f y g son equivalentes en a y una de ellas en un límite en el valor a está como factor o bien como numerador o denominador, entonces f (o g) se puede substituir por la otra función equivalente.
Es decir:
Infinitésimos
En límites se dice que un límite de una función f es un infinitésimo cuando su valor es tan pequeño que tiende a cero.
Cálculo de límites por infinitésimos equivalentes
Esta es una tabla de infinitésimos equivalentes cuando, en estas funciones x → 0:
Equivalencia que no se demostrará, pero que se aprecia la equivalencia de estos infinitésimos cuando x → 0 en la siguiente gráfica:
Dos funciones más cuyos infinitésimos son equivalentes cuando su límite tiende a cero (x → 0):
Equivalencia de infinitésimos que se aprecia en la figura cuando la variable x → 0.
Estos son dos casos de infinitésimos equivalentes cuando, en estas funciones x → 1:
Como se aprecia en la figura.
En la gráfica se muestran dos pares de casos de infinitésimos equivalentes cuando x → 1:
Ejercicios para practicar
- Ejercicio 1. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:
- Ejercicio 2. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:
- Ejercicio 3. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:
- Ejercicio 4. Hallar el siguiente límite por infinitésimos equivalentes:
Órdenes de infinito
Si en dos funciones f(x) y g(x), cuando x tiende a a y sus límites tienen un valor ±∞, si el cociente de ambos límites es 1, entonces ambos límites infinitos son equivalentes.
Comparación de infinitos
El orden de un infinito se refiere a la mayor rapidez en que la función correspondiente crece (o decrece) hacia el infinito.
El orden de infinito va a ser de mucha utilidad para resolver límites indeterminados, especialmente los del tipo ∞/∞.
Veamos la comparación de los órdenes de infinitos fundamentales, puestos de mayor a menor orden. Sus límites tienden a ∞:
La comparación de los órdenes de infinitos fundamentales aparecen aquí ordenados en su expresión básica.
Como se puede ver en la figura:
- Función exponencial-potencial en la que k > 0.
- Función exponencial en la que k > 1. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga mayor la base. (P. ej. 5x > 3x.
- Función potencial en la que k > 0. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga mayor la base. (P. ej. 5x > 3x.
- Función logarítmica en la que k > 0. En este tipo de infinitos tendrá un orden mayor la que tenga la base del logaritmo menor. (P. ej. log2x3 > log4x3).
Si el orden del infinito en a de f(x) es mayor que el de g(x) entonces:
Si el orden del infinito en a de f(x) es menor que el de g(x) entonces:
Si el orden del infinito en a de f(x) es igual al de g(x) entonces:
No se pueden comparar dos infinitos de dos funciones en a si el límite de su cociente no existe.
El orden de la suma de dos infinitos de distinto orden equivale al infinito de orden mayor.
Ejercicios para practicar
- Ejercicio 1
La simplificación en el numerador se ha realizado por comparación de infinitos fundamentales (suma).
- Ejercicio 2
- Ejercicio 3
Los límites de los tres ejercicios se han resuelto tomando el término de mayor orden, por comparación de órdenes de infinito.