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Función cuadrática

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Una función cuadrática (o función de segundo grado) es una función polinómica de grado 2, es decir, el mayor exponente del polinomio es x elevado a 2 (x2).

Su forma estándar es:

Expresión de una función cuadrática.

Son a, b y c escalares, valores constantes o denominados, que también se denominan los coeficientes de la función.

Su representación gráfica es una parábola vertical.

Dibujo de una función polinómica cuadrática.

Existen dos elementos fundamentales en la parábola que definen como es esta:

  1. El eje de simetría, que es una recta vertical que parte la parábola en dos ramas iguales.
  2. El vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.

Si el escalar a > 0, la parábola se abre hacia arriba y el vértice es el mínimo de la función. En cambio, si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y el vértice es el máximo de la función.

Cuanto mayor sea el valor absoluto de a, |a|, más juntas estarán las ramas de la parábola.

Dibujo de la abertura de las ramas de la parábola según la a.

Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna raíz real (en este caso serán dos raíces imaginarias). Las raíces de una función son los elementos del dominio tal que su imagen es nula (f(x) = 0). Dicho de otra manera, las raíces son los puntos donde la gráfica de la función corta el eje x.

Una ecuación cuadrática o de segundo orden es cuando la función cuadrática se iguala a cero: f(x) = y = 0. Tiene la forma:

Fórmula de la ecuación cuadrática en una función cuadrática

La fórmula para el cálculo de las raíces de una ecuación cuadrática es:

Fórmula para obtener las raíces en una función cuadrática

Al contenido comprendido dentro del radical de esta fórmula se le llama determinante y se representa así:

Fórmula del determinante en una función cuadrática

Se puede también expresar la ecuación cuadrática, en función de sus raíces y del escalar a, de esta manera, por factorización:

Fórmula de la ecuación cuadrática 2 en una función cuadrática
Dibujo de las raíces de una función cuadrática

La ecuación de la recta del eje de simetría, por el mismo concepto de la simetría, se puede hallar con la media aritmética de los puntos de corte con el eje x, es decir, la media aritmética de sus raíces:

Fórmula de la media de las raíces en una función cuadrática

Traslación horizontal

Cuando se cumple que a > 0 y b > 0 o, también, que a < 0 y b < 0, en ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje y.

Cuando se cumple que a > 0 y b < 0 o, también, que a < 0 y b > 0, en ambos casos, el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje y.

Si el valor del escalar b = 0, el eje de simetría coincide con el eje y.

Estos casos se ven en esta figura:

Dibujo de la traslación horizontal de una función cuadrática

Relación entre las raíces de la función cuadrática y los coeficientes

La suma de las raíces s es:

Fórmula de la suma de las raíces en una función cuadrática

El producto de las raíces p es:

Fórmula del producto de las raíces en una función cuadrática

Esto permite escribir la ecuación cuadrática, conociendo sus raíces:

Fórmula conociendo las raíces de una función cuadrática

De manera factorizada, similar a como hemos visto antes:

Fórmula de la ecuación cuadrática 2 en una función cuadrática

Intersecciones o puntos de corte

Las intersecciones son los puntos en los que la función corta los ejes y y x.

La intersección con el eje y de una función cuadrática se produce cuando hacemos x = 0. Es siempre el punto (0, c). Si la función es incompleta y no existe el parámetro c (es decir, c = 0), la intersección será el punto (0, 0).

Dibujo de los puntos de corte de una función cuadrática

La intersección con el eje x de una función cuadrática son las raíces x1 y x2 de la misma. Se producen cuando hacemos y = 0. Como se ha dicho más arriba y dependiendo del determinante Δ, pueden haber dos o una raíces reales, o en el caso de que Δ < 0 entonces son raíces complejas.

Características de la función cuadrática

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Siendo f(x) = ax2+bx+c, entonces tenemos que:

  • Dominio: Dominio de la función cuadrática.
  • Codominio: Codominio de la función cuadrática.
  • Derivada de la función cuadrática: Derivada de la función cuadrática.
  • Integral de la función cuadrática: Integral de la función cuadrática.

Función cuadrática completa f(x) = ax2+bx+c

En este caso, los tres escalares son distintos de 0 (a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0). Se denomina ecuación cuadrática completa.

El eje de simetría es la recta de la ecuación:

Fórmula del eje de simetría en la función cuadrática ax^2+bx+c

El vértice de la parábola es:

Fórmula del vértice en la función cuadrática ax^2+bx+c
Dibujo de la función cuadrática ax^2+bx+c

Función cuadrática incompleta del tipo f(x) = ax2+c

El escalar b = 0 y los otros dos son diferentes de 0, a ≠ 0 y c ≠ 0.

El eje de simetría coincide con el eje Y:

Fórmula del eje de simetría en la función cuadrática ax^2+c

El vértice es:

Fórmula del vértice en la función cuadrática ax^2+c

En el caso de que c = 0, el vértice será el origen de coordenadas (0,0).

Dibujo de la función cuadrática ax^2+c

Función cuadrática incompleta del tipo f(x) = ax2+bx

Por último, tenemos el caso en el que el escalar c = 0 y los otros dos son diferentes de 0, a ≠ 0 y b ≠ 0.

El eje de simetría viene definido igualmente por la fórmula:

Fórmula del eje de simetría en la función cuadrática ax^2+bx

El vértice será:

Fórmula del vértice en la función cuadrática ax^2+bx

Su gráfica tiene la misma forma que la de f(x) = ax2 pero desplazada por la suma de bx.

Dibujo de la función cuadrática ax^2+bx

Ejercicios

Ejercicio 1

Dada la función cuadrática f(x) = -2 – 4x + 6:

a) Hallar la ecuación de su eje de simetría.

b) Las coordenadas de su vértice.

c) Comprobar si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo.

d) El punto de corte con el eje y.

e) Las raíces reales de la función (si las tuviere).

Solución:

a) Aplicamos la fórmula del eje de simetría:

Cálculo del eje de simetría en el ejercicio 1 de la función cuadrática

b) Ahora las fórmulas de las coordenadas del vértice:

Cálculo del vértice en el ejercicio 1 de la función cuadrática

c) Como el parámetro a es negativo (es menor que 0), entonces la gráfica se abre hacia abajo y el vértice es un máximo de la función.

d) El punto de corte o intersección con el eje y se obtiene cuando x = 0:

Cálculo de los puntos de corte en el ejercicio 1 de la función cuadrática

e) Para ver si tiene raíces reales y si son una o dos, vemos primero el determinante:

Cálculo del determinante en el ejercicio 1 de la función cuadrática

Luego tiene dos raíces reales. Aplicamos la fórmula general:

Cálculo de las raíces en el ejercicio 1 de la función cuadrática

Y las raíces son -3 y 1.

Dibujo del ejercicio 1 de la función cuadrática

Ejercicio 2

Averiguar dos números impares negativos y consecutivos tales que si sumamos los cuadrados de los mismos obtenemos un resultado de 130.

Solución:

Según el enunciado, los dos números los podemos expresar así:

Cálculo de los números en el ejercicio 2 de la función cuadrática

Ahora plasmamos la condición de la suma de sus cuadrados:

Cálculo de la suma de cuadrados en el ejercicio 2 de la función cuadrática

Desarrollamos y simplificamos, quedándonos una ecuación cuadrática o de segundo grado:

Cálculo de la ecuación cuadrática en el ejercicio 2 de la función cuadrática

Aplicamos la fórmula para el cálculo de esta ecuación cuadrática:

Cálculo de la aplicación de la ecuación cuadrática en el ejercicio 2 de la función cuadrática

Como se buscan números negativos, la raíz que se debe de tomar es la negativa -9.

Por lo tanto, los dos números impares negativos y consecutivos cuya suma de sus cuadrados sea 130 son -9 y (-9 + 2), es decir -9 y -7.

Ejercicio 3

Averiguar al menos dos ecuaciones cuadráticas cuyas raíces sean -4 y 1.

Solución:

La relación entre las raíces de una ecuación cuadrática y sus coeficientes hemos visto que es:

Cálculo de la ecuación cuadrática en el ejercicio 3 de la función cuadrática

La suma de las raíces es -4 + 1 = 3 mientras que su producto resulta -4 · 1 = -4.

Ya se pueden escribir dos ecuaciones cuadráticas que cumplan que sus raíces sean las dadas, solamente con darle al parámetro a dos valores cualquiera, como por ejemplo a = 1 o a = -2.

Estas ecuaciones serán:

Cálculo de las ecuaciones en el ejercicio 3 de la función cuadrática

En la gráfica de ambas funciones se comprueba que en las dos, sus raíces son -4 y 1.

Dibujo del ejercicio 3 de la función cuadrática

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3 Respuestas

  1. francisco dice:

    falta explicar como desplaza bx a la funcion

    • Respuestas dice:

      Está explicado cómo interviene el parámetro b, tanto en el eje de simetría como en el vértice de la parábola.
      Para dos parábolas en las que difieran solamente en su parámetro b, una estará desplazada de la otra, según las coordenadas de los vértices correspondientes, según observarás en esta misma página.

  2. Pino Amira dice:

    Quiero saber si la funcion cuadratica cumple con estos tres aspectos (INYECTIVA, SOBREYECTIVA y BIYECTIVA)? Porque?

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