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Asíntota vertical

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Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Condiciones para ser una asíntota vertical

Las condiciones (1) y (2) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia arriba. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (3) y (4) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia abajo. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y la (4) se pueden verificar simultáneamente. Incluso en una misma función puede haber asíntotas horizontales. En la imagen aparece una función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical más una horizontal:

Dibujo de una asíntota vertical que cumple las cuatro condiciones

En las funciones racionales, las asíntotas verticales, en caso de tenerlas, están en los valores que hacen nulo su denominador.

Ejemplo

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Averiguar las posibles asíntotas verticales de la función siguiente y la posición de la gráfica de dicha función respecto a esas posibles asíntotas verticales:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota vertical

Como se trata de una función racional, la posible asíntota vertical estará en el valor que anula a su denominador, que es x = -2.

Veamos, pues, los límites laterales para x → -2.

Damos primero un valor a la x muy próximo a -2, pero mayor, por ejemplo x = -1,999.

Cálculo del límite lateral por la izquierda en el ejemplo 1 de asíntota vertical

O, lo que es lo mismo:

Cálculo 2 del límite lateral por la izquierda en el ejemplo 1 de asíntota vertical

Por tanto, la recta x = -2 es asíntota hacia arriba de la función (cuando tiende a +∞) y la curva se le acerca por la derecha (-1,999 > -2).

Para estudiar el otro posible límite lateral, le asignamos ahora un valor a la x muy próximo a -2, pero en esta ocasión menor, por ejemplo x = -2,001.

Cálculo del límite lateral por la derecha en el ejemplo 1 de asíntota vertical

O, lo que es lo mismo:

Cálculo 2 del límite lateral por la derecha en el ejemplo 1 de asíntota vertical

Por tanto, la recta x = -2 es también asíntota hacia abajo de la función (tiende a -∞) y la curva se le acerca por la izquierda (-2,001 < -2).

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