Asíntota vertical

Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Las condiciones (1) y (2) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia arriba. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (3) y (4) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia abajo. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y la (4) se pueden verificar simultáneamente. Incluso en una misma función puede haber asíntotas horizontales. En la imagen aparece una función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical más una horizontal:

En las funciones racionales, las asíntotas verticales, en caso de tenerlas, están en los valores que hacen nulo su denominador.

Ejemplo

Averiguar las posibles asíntotas verticales de la función siguiente y la posición de la gráfica de dicha función respecto a esas posibles asíntotas verticales:

Como se trata de una función racional, la posible asíntota vertical estará en el valor que anula a su denominador, que es x = -2.

Veamos, pues, los límites laterales para x → -2.

Damos primero un valor a la x muy próximo a -2, pero mayor, por ejemplo x = -1,999.

O, lo que es lo mismo:

Por tanto, la recta x = -2 es asíntota hacia arriba de la función (cuando tiende a +∞) y la curva se le acerca por la derecha (-1,999 > -2).

Para estudiar el otro posible límite lateral, le asignamos ahora un valor a la x muy próximo a -2, pero en esta ocasión menor, por ejemplo x = -2,001.

O, lo que es lo mismo:

Por tanto, la recta x = -2 es también asíntota hacia abajo de la función (tiende a -∞) y la curva se le acerca por la izquierda (-2,001 < -2).