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Asíntotas de una función

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Una asíntota de una función (en el caso de existir esa asíntota) es una recta en el plano tal que una rama de la función f(x) que crece infinitamente en el sentido x, f(x) o en los dos sentidos a la vez, se acerca a la asíntota cada vez más. Dicho de otra manera, una asíntota es la tangente a una rama de la función en el infinito.

Tipos de asíntotas

Una función puede tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales, o asíntotas oblicuas. Tambien hay funciones en las que no existen asíntotas (en las llamadas “ramas parabólicas”).

Asíntotas horizontales

Una recta es una asíntota horizontal de una función f(x) si cumple al menos una de las siguientes condiciones (límite finito en el infinito):

Condición para ser una asíntota horizontal

Como máximo, una función puede tener dos asíntotas horizontales, una a la derecha (límite a +∞) y otra a la izquierda (límite a -∞).

La ecuación de una asíntota horizontal es:

Ecuación de una asíntota horizontal

Lo más frecuente es que la misma asíntota sea a la vez la de la de la rama derecha de la función y la de la izquierda. Por ejemplo en esta función racional con única asíntota horizontal y = 1.

Dibujo de la asíntota horizontal en una función racional

Sin embargo, en funciones con radicales pueden aparecer dos asíntotas horizontales diferentes, como en la figura:

Dibujo de una función con dos asintotas horizontales

En algunos casos, una asíntota horizontal puede cortar a la gráfica de su función en uno o más puntos:

Dibujo de una asíntota horizontal que corta a la función

Ejemplo

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Averiguar las posibles asíntotas horizontales de la siguiente función y la posición de la gráfica de la función respecto a esas posibles asíntotas horizontales:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota horizontal

En primer lugar vemos la función si tiene límites en ±∞:

Cálculo del límite infinito en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

El límite en +∞ es 0, por comparación de órdenes de infinito. El orden de infinito es mayor en el denominador. Ahora se halla el posible límite en -∞

Cálculo del límite en menos infinito en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

El límite en -∞ no existe porque hay una raíz cuadrada de una cantidad negativa.

Existe la asíntota horizontal por la derecha (recta y = 0) mientras que la asíntota horizontal por la izquierda no existe.

Se estudia ahora la posición de la asíntota respecto de la curva.

Para ello, se le asigna un valor alto y positivo a la variable en la función (para acercarnos a +∞):

Cálculo de la posición de la curva en el ejemplo 1 de asíntota horizontal

Como el valor es superior al del límite, la curva está arriba de la asíntota, como se ve en la figura.

Dibujo del ejemplo 1 de una asíntota horizontal

Asíntotas verticales

Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Condiciones para ser una asíntota vertical

Las condiciones (1) y (2) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia arriba. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (3) y (4) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia abajo. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y la (4) se pueden verificar simultáneamente. Incluso en una misma función puede haber asíntotas horizontales. En la imagen aparece una función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical más una horizontal:

Dibujo de una asíntota vertical que cumple las cuatro condiciones

En las funciones racionales, las asíntotas verticales, en caso de tenerlas, están en los valores que hacen nulo su denominador.

Ejemplo

Averiguar las posibles asíntotas verticales de la función siguiente y la posición de la gráfica de dicha función respecto a esas posibles asíntotas verticales:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota vertical

Como se trata de una función racional, la posible asíntota vertical estará en el valor que anula a su denominador, que es x = -2.

Veamos, pues, los límites laterales para x → -2.

Damos primero un valor a la x muy próximo a -2, pero mayor, por ejemplo x = -1,999.

Cálculo del límite lateral por la izquierda en el ejemplo 1 de asíntota vertical

O, lo que es lo mismo:

Cálculo 2 del límite lateral por la izquierda en el ejemplo 1 de asíntota vertical

Por tanto, la recta x = -2 es asíntota hacia arriba de la función (cuando tiende a +∞) y la curva se le acerca por la derecha (-1,999 > -2).

Para estudiar el otro posible límite lateral, le asignamos ahora un valor a la x muy próximo a -2, pero en esta ocasión menor, por ejemplo x = -2,001.

Cálculo del límite lateral por la derecha en el ejemplo 1 de asíntota vertical

O, lo que es lo mismo:

Cálculo 2 del límite lateral por la derecha en el ejemplo 1 de asíntota vertical

Por tanto, la recta x = -2 es también asíntota hacia abajo de la función (tiende a -∞) y la curva se le acerca por la izquierda (-2,001 < -2).

Asíntotas oblicuas

La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:

Condición para ser una asíntota oblicua

En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).

En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:

Cálculo de la pendiente en una asíntota oblicua

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

  1. Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.
  2. Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.
  3. Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.
Dibujo del punto de corte con el eje de ordenadas en la asíntota oblicua

Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.

Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:

Cálculo del parámetro q en una asíntota oblicua

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.

Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Dibujo de una asíntota oblicua en funciones polinómicas

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

Dibujo de los puntos de corte de una función y una asíntota oblicua

Ejemplo 1

Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de la función:

Fórmula del ejemplo 1 de asíntota oblicua

En primer lugar descartamos que existan asíntotas horizontales (incompatibles con las oblicuas):

Cálculo de una asíntota horizontal en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

El límite es infinito, por lo que no existen asíntotas horizontales. Podemos ver el parámetro p (pendiente) de la recta de la posible asíntota oblicua mediante el valor del límite:

Cálculo del parámetro p en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

Como el límite tiene un valor finito y ≠ 0, p = 1, existe una asíntota oblicua.

Se averigua ahora el punto q, de corte con el eje Y, mediante este límite:

Cálculo del corte con el eje Y en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

La ecuación de la asíntota oblicua, de pendiente positiva, de esta función es:

Cálculo de la ecuación en el ejemplo 1 de asíntota oblicua

Como se ve en la figura:

Dibujo de la figura del ejemplo 1 de asíntota oblicua

Ejemplo 2

Hallar, por el procedimiento descrito en esta página, las ecuaciones de la hipérbola que aparece en el ejercicio de la página de Universo Fórmulas asíntotas de una hipérbola.

En este ejercicio, los parámetros de la hipérbola son a = 2 y b = 4.

La ecuación de la hipérbola será:

Fórmula del ejemplo 2 de asíntota oblicua

De la que despejamos la y:

Cálculo despejando la y en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Mediante el límite siguiente se descartan las asíntotas horizontales, para que puedan existir las oblicuas:

Cálculo para descartar la asíntota horizontal en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

No hay asíntotas horizontales, porque el límite es infinito. Vamos a ver la pendiente p de la/las asíntotas oblicua/s:

Cálculo de la pendiente en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Porque es el límite de una razón polinómica con el mismo orden en el numerador y el denominador.

Existen dos asíntotas oblicuas porque los valores de sus pendientes p ± 0. Hallaremos el punto q de intersección con el eje Y:

Cálculo del punto q en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

El valor de este límite (de q) es 0. Se llega a él después de una indeterminación ∞ – ∞ que ya se ha mostrado su resolución en el enlace correspondiente.

Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas oblicuas buscadas son:

Cálculo de las ecuaciones en el ejemplo 2 de asíntota oblicua

Se ha llegado al mismo resultado que en el ejercicio de la página de Universo Formulas asíntotas de una hipérbola.

Dibujo de la figura del ejemplo 2 de asíntota oblicua

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2 Respuestas

  1. Javo dice:

    en el ejemplo 1 es y=x+4, se equivocaron en el signo!

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