Asíntotas de una función

Una asíntota de una función (en el caso de existir esa asíntota) es una recta en el plano tal que una rama de la función f(x) que crece infinitamente en el sentido x, f(x) o en los dos sentidos a la vez, se acerca a la asíntota cada vez más. Dicho de otra manera, una asíntota es la tangente a una rama de la función en el infinito.

Tipos de asíntotas

Una función puede tener asíntotas horizontales, asíntotas verticales, o asíntotas oblicuas. Tambien hay funciones en las que no existen asíntotas (en las llamadas “ramas parabólicas”).

Asíntotas horizontales

Una recta es una asíntota horizontal de una función f(x) si cumple al menos una de las siguientes condiciones (límite finito en el infinito):

Como máximo, una función puede tener dos asíntotas horizontales, una a la derecha (límite a +∞) y otra a la izquierda (límite a -∞).

La ecuación de una asíntota horizontal es:

Lo más frecuente es que la misma asíntota sea a la vez la de la de la rama derecha de la función y la de la izquierda. Por ejemplo en esta función racional con única asíntota horizontal y = 1.

Sin embargo, en funciones con radicales pueden aparecer dos asíntotas horizontales diferentes, como en la figura:

En algunos casos, una asíntota horizontal puede cortar a la gráfica de su función en uno o más puntos:

Ejemplo

Averiguar las posibles asíntotas horizontales de la siguiente función y la posición de la gráfica de la función respecto a esas posibles asíntotas horizontales:

En primer lugar vemos la función si tiene límites en ±∞:

El límite en +∞ es 0, por comparación de órdenes de infinito. El orden de infinito es mayor en el denominador. Ahora se halla el posible límite en -∞

El límite en -∞ no existe porque hay una raíz cuadrada de una cantidad negativa.

Existe la asíntota horizontal por la derecha (recta y = 0) mientras que la asíntota horizontal por la izquierda no existe.

Se estudia ahora la posición de la asíntota respecto de la curva.

Para ello, se le asigna un valor alto y positivo a la variable en la función (para acercarnos a +∞):

Como el valor es superior al del límite, la curva está arriba de la asíntota, como se ve en la figura.

Asíntotas verticales

Una recta es una asíntota vertical de una función f(x) si cumple al menos una de las cuatro condiciones siguientes:

Las condiciones (1) y (2) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia arriba. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (3) y (4) se verifican cuando la recta es una asíntota hacia abajo. La gráfica de la función se acerca a ella en el infinito respectivamente por la izquierda o por la derecha.

Las condiciones (1) y (2), las (3) y (4), la (1) y la (4) o la (3) y la (4) se pueden verificar simultáneamente. Incluso en una misma función puede haber asíntotas horizontales. En la imagen aparece una función que cumple las cuatro condiciones de una asíntota vertical más una horizontal:

En las funciones racionales, las asíntotas verticales, en caso de tenerlas, están en los valores que hacen nulo su denominador.

Ejemplo

Averiguar las posibles asíntotas verticales de la función siguiente y la posición de la gráfica de dicha función respecto a esas posibles asíntotas verticales:

Como se trata de una función racional, la posible asíntota vertical estará en el valor que anula a su denominador, que es x = -2.

Veamos, pues, los límites laterales para x → -2.

Damos primero un valor a la x muy próximo a -2, pero mayor, por ejemplo x = -1,999.

O, lo que es lo mismo:

Por tanto, la recta x = -2 es asíntota hacia arriba de la función (cuando tiende a +∞) y la curva se le acerca por la derecha (-1,999 > -2).

Para estudiar el otro posible límite lateral, le asignamos ahora un valor a la x muy próximo a -2, pero en esta ocasión menor, por ejemplo x = -2,001.

O, lo que es lo mismo:

Por tanto, la recta x = -2 es también asíntota hacia abajo de la función (tiende a -∞) y la curva se le acerca por la izquierda (-2,001 < -2).

Asíntotas oblicuas

La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:

En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).

En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).

Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).

El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:

Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.

1. Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.
2. Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.
3. Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.

Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.

Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:

Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.

Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.

Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.

Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.

Ejemplo 1

Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de la función:

En primer lugar descartamos que existan asíntotas horizontales (incompatibles con las oblicuas):

El límite es infinito, por lo que no existen asíntotas horizontales. Podemos ver el parámetro p (pendiente) de la recta de la posible asíntota oblicua mediante el valor del límite:

Como el límite tiene un valor finito y ≠ 0, p = 1, existe una asíntota oblicua.

Se averigua ahora el punto q, de corte con el eje Y, mediante este límite:

La ecuación de la asíntota oblicua, de pendiente positiva, de esta función es:

Como se ve en la figura:

Ejemplo 2

Hallar, por el procedimiento descrito en esta página, las ecuaciones de la hipérbola que aparece en el ejercicio de la página de Universo Fórmulas asíntotas de una hipérbola.

En este ejercicio, los parámetros de la hipérbola son a = 2 y b = 4.

La ecuación de la hipérbola será:

De la que despejamos la y:

Mediante el límite siguiente se descartan las asíntotas horizontales, para que puedan existir las oblicuas:

No hay asíntotas horizontales, porque el límite es infinito. Vamos a ver la pendiente p de la/las asíntotas oblicua/s:

Porque es el límite de una razón polinómica con el mismo orden en el numerador y el denominador.

Existen dos asíntotas oblicuas porque los valores de sus pendientes p ± 0. Hallaremos el punto q de intersección con el eje Y:

El valor de este límite (de q) es 0. Se llega a él después de una indeterminación ∞ – ∞ que ya se ha mostrado su resolución en el enlace correspondiente.

Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas oblicuas buscadas son:

Se ha llegado al mismo resultado que en el ejercicio de la página de Universo Formulas asíntotas de una hipérbola.