Matemáticas

La derivada permite estudiar si una función es creciente en un intervalo o en todo su recorrido. Los criterios para establecer la monotonía en una función (o en sus intervalos) mediante la derivada son los siguientes: Esta es una función exponencial monótona estrictamente creciente con la función derivada positiva en todo el dominio: Para los […]

La derivada permite estudiar la concavidad o convexidad. La primera derivada nos permite estudiar la curvatura (concavidad o convexidad) de una función. La segunda derivada determina la curvatura. En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle. (Hay autores que adoptan el criterio contrario, llamando

Los máximos y mínimos de una función pueden encontrarse mediante la derivada. Si la función está definida en un intervalo (a, b) y es derivable en él, para que haya un punto extremo local (máximo o mínimo) c del intervalo), la derivada primera en c debe ser nula, f’(c) = 0. Esta condición es necesaria, pero no suficiente.

La derivada permite estudiar existencia de los puntos de inflexión. Un punto de inflexión de una función es el lugar de su dominio en donde cambia de curvatura, donde cambia de concavo a convexo o viceversa. En un punto de inflexión, la tangente atraviesa la gráfica de la función. Si además la primera derivada es nula,

La optimización se consigue con derivadas. Hallando el máximo o mínimo de una función determinada que recoge el objetivo a optimizar, se averigua el valor o valores de las variables que hay que ajustar. Los pasos a tomar en el proceso de optimización son: Es conveniente un esquema o gráfico, para abordar mejor el problema.

La segunda derivada, a la que llamaremos f’’(x), es una nueva función que se obtiene cuando se deriva (caso de que sea derivable) la función derivada f’(x) (a la que aquí llamaremos derivada primera) de la función inicial f(x). Derivando reiteradamente (siempre que sigan siendo derivables), obtendremos nuevas funciones, llamadas derivadas sucesivas o derivadas de

La diferencial de una función en un punto a es el incremento que hubiera tenido esa función al incrementar la variable independiente x a otro punto a + h pero, en vez de seguir por la curva de la función, se hubiera seguido por la tangente a dicha curva en a. Sabemos que la derivada de una

El teorema fundamental del cálculo indica que la derivación de una función y la integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que si se integra una función continua y acotada, integrable en este intervalo, y luego se deriva integral resultante, obtenemos la función original. Es decir, son dos operaciones inversas. Si llamamos a

Enunciaremos cuatro teoremas de las derivadas aplicables sobre funciones que cumplen ciertas condiciones de derivabilidad y, por tanto, de continuidad. Son: Teorema de Bolzano Teorema de Rolle Teorema del Valor Medio o de Lagrange Teorema de Cauchy o teorema del Valor Medio Generalizado Los tres últimos teoremas son como un “paquete”, una unidad de concepto,